使用技术求解方程组与多项式方程

IB 数学应用与解析 SL· 第一单元数与代数：技术辅助代数求解· 12 分钟阅读

1. IB AI SL代数任务的GDC预配置★★☆☆☆⏱ 10 min

✓ 计算器

在开始任何考试题目前，请确认你的GDC默认设置为显示3位有效数字，且绘图窗口默认范围设置为x：-10到10，y：-10到10。这样可以避免遗漏负根，也不会产生超出IB允许误差范围的答案。

📘 定义

GDC多项式求解器

N/A

内置工具，输入多项式系数即可返回所有实根，无需手动因式分解

例:

输入 $2 x^{2} + 5 x - 3 = 0$ 的系数后，将返回根 $x = 0.5$ 和 $x = - 3$

📐 例题

配置你的TI-84 GDC以显示3位有效数字输出，并确认默认绘图窗口范围

1
按下MODE键，向下滚动到Float选项，选择“3”以设置3位有效数字显示
2
按下WINDOW键，设置Xmin=-10，Xmax=10，Ymin=-10，Ymax=10
3
按下GRAPH键确认没有错误提示，然后将设置保存到自定义内存槽位

✓ 快速检测

确认你可以在自己的GDC上完成该设置：

IB要求最终答案默认保留几位有效数字？
- 2位有效数字
- 3位有效数字
- 4位有效数字
- 1位有效数字
显示答案
3 s.f. —
除非题目明确说明其他要求，否则IB AI SL的所有最终答案默认保留3位有效数字。

2. 使用GDC求解2×2和3×3线性方程组★★★☆☆⏱ 12 min

✓ 计算器

对于包含2或3个变量的方程组，在Paper 2考试中你不需要使用代入法或消元法。GDC联立方程求解器可以在数秒内返回精确解，几乎消除所有算术错误。

\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x - y + 2z = 3 \\ 3x + 2y + z = 4 \end{cases}

📐 例题

使用你的GDC求解上方所示的3×3线性方程组

1
打开GDC上的“联立方程”工具，选择3个变量
2
准确输入每个方程的系数，包括等号右侧的数值
3
运行求解器得到输出 $x = 1$ ， $y = 0$ ， $z = 1$
4
将结果代回三个方程验证： $2 (1) + 0 - 1 = 1$ ， $1 - 0 + 2 (1) = 3$ ， $3 (1) + 0 + 1 = 4$ ，全部成立

3. 求最高4次多项式方程的所有实根★★★☆☆⏱ 10 min

✓ 计算器

在IB AI SL中，几乎不会要求你手动对3次及以上的多项式进行因式分解。直接使用GDC多项式求解器或图像求根工具即可得到所有实根。

📐 例题

使用你的GDC求三次多项式 $f (x) = x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ 的所有实根

1
打开多项式求解工具，将次数设置为3
2
输入系数a=1，b=-4，c=1，d=6
3
运行求解器得到输出 $x = - 1$ ， $x = 2$ ， $x = 3$
4
绘制函数图像交叉验证，确认3个x截距都显示在你的窗口范围内

4. 呈现GDC解题步骤以拿到考试全部分数★★★★☆⏱ 8 min

✓ 计算器

分数类型	GDC求解的得分要求
精度分	最终答案保留3位有效数字，在IB允许误差范围内
方法分	用一行文字注明使用了GDC，外加一个中间输出值
交流分	明确说明每个输出值对应的变量

✓ 快速检测

测试你对得分规则的理解：

使用GDC求解3×3方程组时，你最少需要写出什么内容才能拿到全部分数？
- 仅写出最终的x、y、z值
- "使用GDC求解3×3方程组"外加一个中间输出值
- 完整的手动消元步骤
- 方程组的图像
显示答案
"GDC used to solve 3x3 system" plus 1 intermediate output —
IB阅卷人只需要确认你没有从第三方来源抄答案，Paper 2中不需要写出完整的手动步骤。

5. 常见陷阱

错误做法:

仅写出最终答案，完全不提及使用了GDC

原因:

如果你没有展示任何解题过程的证据，IB阅卷人无法给你方法分

正确做法:

添加一行文字说明使用了GDC，并在最终解之前写出一个中间输出值

错误做法:

将多项式系数四舍五入到2位有效数字后再输入GDC

原因:

四舍五入后的输入会导致最终输出超出IB允许的误差范围

正确做法:

将完整的未四舍五入的值输入GDC，仅对最终的根或方程组解保留3位有效数字

错误做法:

在Paper 2中尝试手动求解3×3方程组

原因:

你会在专为技术设计的任务上浪费5分钟以上的时间，没有时间完成后面分值更高的题目

正确做法:

所有3变量及以上的方程组都使用GDC内置的联立求解器

错误做法:

使用求根工具前忘记调整绘图窗口

原因:

超出默认视图范围的负根会被遗漏，让你损失1-2分精度分

正确做法:

对任何多项式运行求根工具前，将x范围设置为-10到10

错误做法:

找到三次多项式的2个根后就停止操作

原因:

你会遗漏第三个实根，因解不完整丢失部分分数

正确做法:

将你找到的根的数量和多项式的次数交叉核对，确认你得到了所有实解

6. 速查表

任务	GDC步骤1	GDC步骤2	考试所需标注
2×2线性方程组	打开联立方程求解器	每个方程输入2个系数	注明'使用GDC求解2×2方程组'
3×3线性方程组	打开3变量联立工具	输入所有增广矩阵数值	写下3个输出值中的2个
二次多项式根	打开多项式求解器，设置次数为2	输入a、b、c系数	如果没有实根，注明'无实解'（图像没有x截距）
三次/四次多项式根	在x=-10到10范围内绘图	使用求根工具捕获所有截距	列出所有保留3位有效数字的实根

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2025 · Paper 1
3×3线性方程组求解
2024 · Paper 2
三次多项式求根
2023 · Paper 1
线性-二次联立方程求解

下一步

现在你已经可以熟练使用GDC求解方程组和多项式方程，你已经准备好将这些技能应用到IB 数学 AI SL Paper 2中占比很高的现实世界建模问题中。掌握这套技术工作流程可以在大多数考试题中节省大量代数运算时间，让你可以专注于结果解读和结论论证，这两部分在本课程中分值权重很高。你也可以使用这些求解工具交叉验证手动解，避免很多学生拿不到7分的低级算术错误。