使用技术求解方程组与多项式方程

IB 数学应用与解析 SL· SL 1.8：使用技术求解最多含三个变量的线性方程组与多项式方程· 12 分钟阅读

1. IB AI SL代数任务的GDC预配置★★☆☆☆⏱ 10 min

✓ 计算器

计算过程中保留计算器完整精度；除另有要求，最终答案给精确值或保留三位有效数字。绘图窗口要按实际函数调整：任何固定窗口都不能保证显示所有实根。

📘 定义

GDC多项式求解器

N/A

内置工具，输入多项式系数即可返回所有实根，无需手动因式分解

例:

输入 $2 x^{2} + 5 x - 3 = 0$ 的系数后，将返回根 $x = 0.5$ 和 $x = - 3$

📐 例题

求解 $x^{2} - 400 = 0$ 前先检查绘图窗口。

1
在求解器中输入系数 $1, 0, - 400$ 。精确根为 $x = - 20$ 和 $x = 20$ 。
2
图像核对可使用 $- 25 \leq x \leq 25$ 、 $- 450 \leq y \leq 250$ 的窗口。两个根都不在默认的 $[- 10, 10]$ 横轴窗口内。

✓ 快速检测

确认你可以在自己的GDC上完成该设置：

最终数值答案应如何呈现？
- 除另有要求，给精确值或三位有效数字
- 始终保留三位小数
- 每个中间数值都舍入到三位有效数字
显示答案
除另有要求，给精确值或三位有效数字 —
计算过程中保留计算器完整精度。除题目另有要求，最终答案给精确值或保留三位有效数字。

2. 使用GDC求解2×2和3×3线性方程组★★★☆☆⏱ 12 min

✓ 计算器

AI SL 两张试卷都可用 GDC 求解最多含三个变量的方程组。仔细输入系数和常数，标明所有要求的变量，并把解代回原方程核对。SL 1.8 不规定特定求解方法。

\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x - y + 2z = 3 \\ 3x + 2y + z = 4 \end{cases}

📐 例题

使用你的GDC求解上方所示的3×3线性方程组

1
打开GDC上的“联立方程”工具，选择3个变量
2
准确输入每个方程的系数，包括等号右侧的数值
3
运行求解器得到输出 $x = 1$ ， $y = 0$ ， $z = 1$
4
将结果代回三个方程验证： $2 (1) + 0 - 1 = 1$ ， $1 - 0 + 2 (1) = 3$ ， $3 (1) + 0 + 1 = 4$ ，全部成立

3. 求最高4次多项式方程的所有实根★★★☆☆⏱ 10 min

✓ 计算器

在IB AI SL中，3次及以上的多项式几乎不会要求手动因式分解。直接使用GDC多项式求解器或图像求根工具即可得到所有实根。

📐 例题

使用你的GDC求三次多项式 $f (x) = x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ 的所有实根

1
打开多项式求解工具，将次数设置为3
2
输入系数a=1，b=-4，c=1，d=6
3
运行求解器得到输出 $x = - 1$ ， $x = 2$ ， $x = 3$
4
绘制函数图像交叉验证，确认3个x截距都显示在你的窗口范围内

4. 呈现使用GDC的数学解题过程★★★★☆⏱ 8 min

✓ 计算器

组成部分	应呈现的内容
解	标出所有要求变量的值，给精确值或按要求保留精度。
数学过程	呈现与题意相关的方程、模型、推理或检验。
技术使用	仅写“使用 GDC”不是数学过程，也不保证得分。

✓ 快速检测

测试你对得分规则的理解：

当题目同时要求 x、y、z 时，应如何记录解？
- 标明全部三个所求变量的值，并展示题目需要的建模或推理
- 只写使用了 GDC
- 只给三个变量中的两个
显示答案
标明全部三个所求变量的值，并展示题目需要的建模或推理 —
分数取决于具体题目和评分方案，而非固定的计算器说明或中间输出个数。

5. 常见陷阱

错误做法:

用计算器操作说明代替数学过程

原因:

操作说明并未展示题目要求的方程、答案或推理。

正确做法:

标明所有要求的值，并展示题目所需的建模、推理或检验。仅写使用计算器并不保证得分。

错误做法:

将多项式系数四舍五入到2位有效数字后再输入GDC

原因:

对输入数值过早舍入会改变根或解。

正确做法:

计算过程中保留计算器完整精度，只对最终答案给精确值或三位有效数字（除非题目另有要求）。

错误做法:

假定每个三次多项式都有三个不同实根，或未调整窗口就读取根

原因:

三次多项式可能有一个、两个（含重根）或三个不同实根；显示窗口以外的根也容易被漏掉。

正确做法:

在多项式求解器中输入所有系数（包括零系数），再用贴合函数的窗口核对。重根可能只与 x 轴相切而不穿过；任何固定窗口都不能保证显示所有根。

6. 速查表

任务	GDC步骤1	GDC步骤2	书面答案
2×2线性方程组	打开联立方程求解器	输入所有系数和等号右侧常数	标明所有要求变量的值
3×3线性方程组	打开3变量联立工具	输入所有增广矩阵数值	标明所有要求变量的值
二次多项式根	打开多项式求解器，设置次数为2	输入a、b、c系数	如果没有实根，注明'无实解'（图像没有x截距）
三次/四次多项式根	在多项式求解器中输入全部系数（包括零系数）	用可调整的窗口核对；重根可能只与横轴相切	除另有要求，给精确值或三位有效数字

下一步

接下来把这套 GDC 求解工具用到 AI SL Paper 2 中占比很高的现实建模题——对结果的解读与论证在那里的分值权重很高。