# 使用技术求解方程组与多项式方程

> IB 数学应用与解析 SL · IB AI SL
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u1-solving-systems-and-polynomial-equations/

我们将逐步演示使用GDC求解线性方程组和多项式方程的操作流程，同时讲解IB专属规则，确保你使用技术得到的答案能拿到全部分数。

**先修:** [基础多项式术语（次数、根、系数）](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u1-intro-to-polynomials/); [手动求解2×2线性方程组的方法](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u1-manual-linear-systems/)

## 学习目标

- 使用图形显示计算器（GDC）准确求解2×2和3×3线性方程组
- 使用GDC内置工具找到最高4次多项式方程的所有实根
- 使用技术验证代数解，消除算术错误
- 正确呈现GDC推导的解题步骤，在IB考试中拿到全部方法分

## IB AI SL代数任务的GDC预配置

在开始任何考试题目前，请确认你的GDC默认设置为显示3位有效数字，且绘图窗口默认范围设置为x：-10到10，y：-10到10。这样可以避免遗漏负根，也不会产生超出IB允许误差范围的答案。

**GDC多项式求解器** — 内置工具，输入多项式系数即可返回所有实根，无需手动因式分解

*记法:* N/A

*例:* 输入$2x^2 + 5x - 3 = 0$的系数后，将返回根$x=0.5$和$x=-3$

> **tip**
>
> 将自定义GDC设置保存到配置文件中，如果考试中途设备重置，你可以在10秒内恢复所有设置。

**例题:** 配置你的TI-84 GDC以显示3位有效数字输出，并确认默认绘图窗口范围

1. 按下MODE键，向下滚动到Float选项，选择“3”以设置3位有效数字显示
2. 按下WINDOW键，设置Xmin=-10，Xmax=10，Ymin=-10，Ymax=10
3. 按下GRAPH键确认没有错误提示，然后将设置保存到自定义内存槽位

**概念自测**

确认你可以在自己的GDC上完成该设置：

1. IB要求最终答案默认保留几位有效数字？

   - 2位有效数字
   - 3位有效数字
   - 4位有效数字
   - 1位有效数字

   *解析:* 除非题目明确说明其他要求，否则IB AI SL的所有最终答案默认保留3位有效数字。

*计算器:* allowed

## 使用GDC求解2×2和3×3线性方程组

对于包含2或3个变量的方程组，在Paper 2考试中你不需要使用代入法或消元法。GDC联立方程求解器可以在数秒内返回精确解，几乎消除所有算术错误。

$$\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x - y + 2z = 3 \\ 3x + 2y + z = 4 \end{cases}$$

**例题:** 使用你的GDC求解上方所示的3×3线性方程组

1. 打开GDC上的“联立方程”工具，选择3个变量
2. 准确输入每个方程的系数，包括等号右侧的数值
3. 运行求解器得到输出$x=1$，$y=0$，$z=1$
4. 将结果代回三个方程验证：$2(1)+0-1=1$，$1-0+2(1)=3$，$3(1)+0+1=4$，全部成立

**考试命令词**

IB考试题针对方程组求解任务使用特定的指令术语：

- **Find** — 允许你完全使用GDC，除了注明使用技术外不需要写任何手动步骤

- **Solve manually** — 你必须写出完整的消元/代入步骤，GDC仅可用于最终验证

*计算器:* allowed

## 求最高4次多项式方程的所有实根

在IB AI SL中，几乎不会要求你手动对3次及以上的多项式进行因式分解。直接使用GDC多项式求解器或图像求根工具即可得到所有实根。

> **warning**
>
> 如果你的默认绘图窗口仅显示正x值，你会遗漏偶次和奇次多项式的所有负根。

**例题:** 使用你的GDC求三次多项式$f(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$的所有实根

1. 打开多项式求解工具，将次数设置为3
2. 输入系数a=1，b=-4，c=1，d=6
3. 运行求解器得到输出$x=-1$，$x=2$，$x=3$
4. 绘制函数图像交叉验证，确认3个x截距都显示在你的窗口范围内

*计算器:* allowed

## 呈现GDC解题步骤以拿到考试全部分数

| 分数类型 | GDC求解的得分要求 |
| --- | --- |
| 精度分 | 最终答案保留3位有效数字，在IB允许误差范围内 |
| 方法分 | 用一行文字注明使用了GDC，外加一个中间输出值 |
| 交流分 | 明确说明每个输出值对应的变量 |

**概念自测**

测试你对得分规则的理解：

1. 使用GDC求解3×3方程组时，你最少需要写出什么内容才能拿到全部分数？

   - 仅写出最终的x、y、z值
   - "使用GDC求解3×3方程组"外加一个中间输出值
   - 完整的手动消元步骤
   - 方程组的图像

   *解析:* IB阅卷人只需要确认你没有从第三方来源抄答案，Paper 2中不需要写出完整的手动步骤。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 仅写出最终答案，完全不提及使用了GDC
  - 原因: 如果你没有展示任何解题过程的证据，IB阅卷人无法给你方法分
  - 正确做法: 添加一行文字说明使用了GDC，并在最终解之前写出一个中间输出值
- **错误做法:** 将多项式系数四舍五入到2位有效数字后再输入GDC
  - 原因: 四舍五入后的输入会导致最终输出超出IB允许的误差范围
  - 正确做法: 将完整的未四舍五入的值输入GDC，仅对最终的根或方程组解保留3位有效数字
- **错误做法:** 在Paper 2中尝试手动求解3×3方程组
  - 原因: 你会在专为技术设计的任务上浪费5分钟以上的时间，没有时间完成后面分值更高的题目
  - 正确做法: 所有3变量及以上的方程组都使用GDC内置的联立求解器
- **错误做法:** 使用求根工具前忘记调整绘图窗口
  - 原因: 超出默认视图范围的负根会被遗漏，让你损失1-2分精度分
  - 正确做法: 对任何多项式运行求根工具前，将x范围设置为-10到10
- **错误做法:** 找到三次多项式的2个根后就停止操作
  - 原因: 你会遗漏第三个实根，因解不完整丢失部分分数
  - 正确做法: 将你找到的根的数量和多项式的次数交叉核对，确认你得到了所有实解

## 速查表

| 任务 | GDC步骤1 | GDC步骤2 | 考试所需标注 |
| --- | --- | --- | --- |
| 2×2线性方程组 | 打开联立方程求解器 | 每个方程输入2个系数 | 注明'使用GDC求解2×2方程组' |
| 3×3线性方程组 | 打开3变量联立工具 | 输入所有增广矩阵数值 | 写下3个输出值中的2个 |
| 二次多项式根 | 打开多项式求解器，设置次数为2 | 输入a、b、c系数 | 如果没有实根，注明'无实解'（图像没有x截距） |
| 三次/四次多项式根 | 在x=-10到10范围内绘图 | 使用求根工具捕获所有截距 | 列出所有保留3位有效数字的实根 |

## 下一步

现在你已经可以熟练使用GDC求解方程组和多项式方程，你已经准备好将这些技能应用到IB 数学 AI SL Paper 2中占比很高的现实世界建模问题中。掌握这套技术工作流程可以在大多数考试题中节省大量代数运算时间，让你可以专注于结果解读和结论论证，这两部分在本课程中分值权重很高。你也可以使用这些求解工具交叉验证手动解，避免很多学生拿不到7分的低级算术错误。

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