对数入门（以 10 和 e 为底）

IB 数学：应用与解释 SL· SL 1.5· 18 分钟阅读

1. 什么是对数？★★☆☆☆⏱ 6 min

对数回答这样一个问题：底数要取几次幂才能得到给定的数？如果 $a^{x} = b$ ，那么 $x$ 就是以 $a$ 为底 $b$ 的对数。所以对数就是「把底数取幂」这一运算的逆运算。

📘 定义

对数的定义

\log_a b = x \iff a^x = b

对底数 $a > 0$ 、 $a \neq = 1$ 、真数 $b > 0$ ： $lo g_{a} b = x$ 恰好表示 $a^{x} = b$ 。对数的底数与幂的底数相同，对数给出的是指数。

例:

$lo g_{2} 8 = 3$ ，因为 $2^{3} = 8$

这个等价关系让你可以把任何指数式改写成对数式，反之亦然。能够双向读懂这个关系，是本主题最有用的一项技能。

📐 例题

把 $1 0^{3} = 1000$ 改写为对数形式，并把 $lo g_{5} 25 = 2$ 改写为指数形式。

1
对于 $1 0^{3} = 1000$ ，底数是 10，指数是 3，结果是 1000。用 $a^{x} = b \Leftrightarrow lo g_{a} b = x$ ：
2
$10^3 = 1000 \iff \log_{10} 1000 = 3$
3
对于 $lo g_{5} 25 = 2$ ，底数是 5，对数值（指数）是 2，真数是 25：
4
$\log_5 25 = 2 \iff 5^2 = 25$

Exam tip:

遇到对数卡住时，立刻把它改写成幂： $lo g_{a} b = x$ 变成 $a^{x} = b$ 。这样就把陌生的对数变成了熟悉的指数问题。

2. 常用对数与自然对数★★☆☆☆⏱ 5 min

有两个底数用得非常频繁，因此有专门的简写。以 10 为底得到常用对数，记作 $lo g b$ （有时写作 $l g b$ ）。以 $e$ 为底（ $e \approx 2.718$ ）得到自然对数，记作 $ln b$ 。

📘 定义

常用对数与自然对数

常用对数： $lo g b = lo g_{10} b$ ，所以 $lo g b = x$ 表示 $1 0^{x} = b$ 。 \ 自然对数： $ln b = lo g_{e} b$ ，所以 $ln b = x$ 表示 $e^{x} = b$ 。

例:

$lo g 100 = 2$ ，因为 $1 0^{2} = 100$ ； $ln e = 1$ ，因为 $e^{1} = e$

自然对数在 IB AI SL 中处理指数增长与衰减时随处可见，因为连续增长天然用以 $e$ 为底来描述。常用对数则出现在 pH、声强、里氏震级等应用标度中。

3. 用科技工具求对数的值★★☆☆☆⏱ 6 min

有些对数是整数值，可以直接看出来，比如 $lo g 1000 = 3$ 。但大多数对数并不是整数，需要用 GDC 进行数值求值。

对以10为底的对数，使用 $lo g$ 键：例如 $lo g 250 \approx 2.40$ 。
对自然对数，使用 $ln$ 键：例如 $ln 12 \approx 2.48$ 。
大多数 GDC 还有通用的 $lo g_{a} b$ 模板，可以直接输入任意底数。

📐 例题

用 GDC 求 $lo g 45$ 和 $ln 20$ ，各保留 3 位有效数字。

1
用 log 键（以10为底）输入 $lo g 45$ ：
2
$\log 45 = 1.6532\ldots \approx 1.65$
3
用 ln 键（以 $e$ 为底）输入 $ln 20$ ：
4
$\ln 20 = 2.9957\ldots \approx 3.00$
5
检验每个答案是否合理： $1 0^{1.65} \approx 45$ ， $e^{3.00} \approx 20$ ，都一致。

✓ 快速检测

检验你的理解：

$lo g_{4} 16$ 的值是多少？
- 2
- 4
- 8
- 64
显示答案
2 —
正确！ $lo g_{4} 16 = 2$ ，因为 $4^{2} = 16$ 。把对数改写成幂就能很快算出来。

4. 常见陷阱

错误做法:

把 $lo g_{a} b$ 读成 $a^{b}$

原因:

对数返回的是指数，不是幂。 $lo g_{a} b$ 是满足 $a^{x} = b$ 的那个数 $x$ 。

正确做法:

使用 $lo g_{a} b = x \Leftrightarrow a^{x} = b$ ：例如 $lo g_{2} 8 = 3$ ，而不是 $2^{8}$ 。

错误做法:

把底数和真数互换，例如写成 $lo g_{8} 2 = 3$

原因:

底数在下方，真数在里面。 $lo g_{2} 8 = 3$ ，但 $lo g_{8} 2 = \frac{1}{3}$ 。

正确做法:

把底数保持为被取幂的数： $2^{3} = 8$ 给出 $lo g_{2} 8 = 3$ 。

错误做法:

对负数或零取对数，例如 $lo g (- 5)$

原因:

正底数取任意实数次幂总是正的，所以非正数的对数不存在。

正确做法:

说明 $lo g b$ 只在 $b > 0$ 时有定义。

错误做法:

以为 GDC 上的 $lo g$ 键是自然对数

原因:

大多数计算器上 $lo g$ 键是以10为底，另有单独的 $ln$ 键表示以 $e$ 为底；混用会算错。

正确做法:

以10为底用 $lo g$ ，以 $e$ 为底用 $ln$ ，或用通用的 $lo g_{a} b$ 模板输入任意底数。

5. 速查表

概念	表述	备注
定义	$lo g_{a} b = x ⟺ a^{x} = b$	$a > 0, a \neq = 1, b > 0$
常用对数	$lo g b = lo g_{10} b$	用 $lo g$ 键
自然对数	$ln b = lo g_{e} b$	用 $ln$ 键， $e \approx 2.718$
底数的对数	$lo g_{a} a = 1$	因为 $a^{1} = a$
1 的对数	$lo g_{a} 1 = 0$	因为 $a^{0} = 1$
有效真数	$b > 0$	$b \leq 0$ 时对数无定义

下一步

把对数理解为指数的逆运算，是求解指数方程的基础——求解时对两边取对数，把未知数从指数位置上「拉」下来。这项技能在两份 IB AI SL 试卷中都被大量考查，并出现在指数增长与衰减、复利、半衰期等应用情境中。