对数表达式的化简

IB 数学：应用与解释 SL· 37 分钟阅读

1. 用于化简的核心对数法则★★☆☆☆⏱ 10 min

所有对数化简都依赖四条核心法则，这些法则直接对应推导自指数法则。由于对数是指数函数的反函数，每条指数法则都直接对应一条对数法则。

📘 定义

核心对数法则

For base $b > 0, b \neq = 1$ , $x > 0$ , $y > 0$ , real $k$

Product Rule: $lo g_{b} (x y) = lo g_{b} x + lo g_{b} y$ \ 2. Quotient Rule: $lo g_{b} (\frac{x}{y}) = lo g_{b} x - lo g_{b} y$ \ 3. Power Rule: $lo g_{b} (x^{k}) = k lo g_{b} x$ \ 4. Change of Base: $lo g_{b} a = \frac{l o g _{c} a}{l o g _{c} b}$ for any $c > 0, c \neq = 1$

例:

$lo g_{2} (8 \times 4) = lo g_{2} 8 + lo g_{2} 4 = 3 + 2 = 5$

📐 例题

化简 $lo g_{3} 12 + lo g_{3} 9 - lo g_{3} 4$

1
使用乘积法则合并前两项：
2
$\log_3 (12 \times 9) - \log_3 4 = \log_3 108 - \log_3 4$
3
使用商法则合并两项：
4
$\log_3 \left(\frac{108}{4}\right) = \log_3 27$
5
化简最终对数，因为 $27 = 3^{3}$ :
6
$\log_3 27 = 3$

Exam tip:

化简结束后务必检查所有真数均为正；IB的大多数题目都会说明变量为正，因此你无需考虑负定义域。

2. 不同底数对数的化简★★★☆☆⏱ 15 min

化简含有不同底数对数的表达式时，你首先需要使用换底法则将所有项转换为相同底数。最常用的公共底数是10（常用对数）或 $e$ （自然对数），IB考试中两种都接受。

📐 例题

化简 $lo g_{4} 15 - lo g_{16} 25$ ，将结果用 $lo g_{2} 3$ 和 $lo g_{2} 5$ 表示。

1
使用换底公式将两个对数都改写为以2为底：
2
$\log_4 15 = \frac{\log_2 15}{\log_2 4} = \frac{\log_2 (3 \times 5)}{2} = \frac{\log_2 3 + \log_2 5}{2}$
3
对第二项做相同改写：
4
$\log_{16} 25 = \frac{\log_2 25}{\log_2 16} = \frac{2\log_2 5}{4} = \frac{\log_2 5}{2}$
5
用第一项减去第二项并化简：
6
$\frac{\log_2 3 + \log_2 5}{2} - \frac{\log_2 5}{2} = \frac{1}{2}\log_2 3$

3. 自然对数表达式的化简★★★☆☆⏱ 12 min

自然对数（底数为 $e$ ）遵循与其他对数完全相同的法则，但它拥有源自底数 $e$ 定义的特殊化简性质。这些性质在IB AI SL中处理指数增长和衰减问题时经常用到。

📘 定义

自然对数的特殊性质

$ln e = 1$ \ 2. $ln (e^{k}) = k$ for any real $k$ \ 3. $e^{l n k} = k$ for any $k > 0$

📐 例题

对 $x > 0$ ，化简 $ln (e^{3} x^{2}) - ln (e x) + ln x$ 。

1
用乘积法则展开第一项：
2
$\ln e^3 + \ln x^2 - \ln(e x) + \ln x$
3
应用自然对数性质和幂法则：
4
$3 + 2\ln x - (\ln e + \ln x) + \ln x$
5
化简 $ln e = 1$ ，展开并合并同类项：
6
$3 + 2\ln x - 1 - \ln x + \ln x = 2 + 2\ln x$

4. 常见陷阱

错误做法:

错误认为 $lo g_{b} (x + y) = lo g_{b} x + lo g_{b} y$

原因:

乘积法则适用于真数的乘积，而非真数的和。对于和的对数不存在通用化简法则。

正确做法:

仅对乘积使用乘积法则： $lo g_{b} (x y) = lo g_{b} x + lo g_{b} y$ 。 $lo g_{b} (x + y)$ 无法进一步化简。

错误做法:

错误认为 $\frac{l o g _{b} x}{l o g _{b} y} = lo g_{b} (\frac{x}{y})$

原因:

将商法则与换底法则混淆了。商法则得到的是对数的差，而非比值。

正确做法:

$lo g_{b} (\frac{x}{y}) = lo g_{b} x - lo g_{b} y$ ，根据换底法则， $\frac{l o g _{b} x}{l o g _{b} y} = lo g_{y} x$ 。

错误做法:

错误认为 $lo g_{b} (x^{k}) = (lo g_{b} x)^{k}$

原因:

对幂法则的误解：指数应该变为对数外的乘数，而非整个对数项的指数。

正确做法:

幂法则是 $lo g_{b} (x^{k}) = k lo g_{b} x$ ，指数始终作为乘数书写。

错误做法:

对所有实数 $x$ 都化简为 $lo g_{b} x^{2} = 2 lo g_{b} x$

原因:

$lo g_{b} x^{2}$ 在 $x \neq = 0$ 时有定义，但 $2 lo g_{b} x$ 仅在 $x > 0$ 时有定义，因此这个化简不完整。

正确做法:

当对所有非零 $x$ 化简时，应写为 $lo g_{b} x^{2} = 2 lo g_{b} ∣ x ∣$ 。

5. 速查表

法则名称	公式	说明
乘积法则	$lo g_{b} (x y) = lo g_{b} x + lo g_{b} y$	$x > 0, y > 0$
商法则	$lo g_{b} (\frac{x}{y}) = lo g_{b} x - lo g_{b} y$	$x > 0, y > 0$
幂法则	$lo g_{b} (x^{k}) = k lo g_{b} x$	对任意实数 $k$ 成立
换底公式	$lo g_{b} a = \frac{l o g _{c} a}{l o g _{c} b}$	通常取 $c = e$ 或 $c = 10$
自然对数性质	$ln e^{k} = k$	$ln e = 1$
反函数性质	$b^{l o g_{b} a} = a$	要求 $a > 0$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2022 · Paper 1
化简三项对数表达式
2023 · Paper 1
合并不同底数的对数
2021 · Paper 2
化简自然对数表达式

下一步

对数表达式化简是求解对数方程和指数方程必备的基础，这两类方程在IB AI SL的两份试卷中都占有很大分值。这些技能也反复出现在指数增长衰减、对数回归，以及pH计算这类应用科学问题中。现在掌握好化简就能避免后续高分值考题中可避免的错误，还能培养在拓展题中拿满分所需的代数流畅性。