# 对数入门（以 10 和 e 为底）

> IB 数学：应用与解释 SL · 数与代数
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u1-simplification-of-logarithmic-expressions/

本子主题把对数作为指数的逆运算来引入。你将学习关系 $a^x = b \Leftrightarrow \log_a b = x$，认识常用对数（以10为底）和自然对数（以 $e$ 为底），并使用 GDC 对对数进行数值求值。

**先修:** [整数指数运算律](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u1-laws-of-exponents-with-rational/)

## 学习目标

- 理解对数是指数运算的逆运算
- 运用关系 $a^x = b \Leftrightarrow \log_a b = x$ 在指数形式与对数形式之间转换
- 认识常用对数（以10为底）和自然对数（以 $e$ 为底）
- 使用图形计算器（GDC）对对数进行数值求值

## 什么是对数？

对数回答这样一个问题：底数要取几次幂才能得到给定的数？如果 $a^x = b$，那么 $x$ 就是以 $a$ 为底 $b$ 的对数。所以对数就是「把底数取幂」这一运算的逆运算。

**对数的定义** — 对底数 $a>0$、$a \neq 1$、真数 $b>0$：$\log_a b = x$ 恰好表示 $a^x = b$。对数的底数与幂的底数相同，对数给出的是指数。

*记法:* \log_a b = x \iff a^x = b

*例:* $\log_2 8 = 3$，因为 $2^3 = 8$

这个等价关系让你可以把任何指数式改写成对数式，反之亦然。能够双向读懂这个关系，是本主题最有用的一项技能。

**例题:** 把 $10^3 = 1000$ 改写为对数形式，并把 $\log_5 25 = 2$ 改写为指数形式。

1. 对于 $10^3 = 1000$，底数是 10，指数是 3，结果是 1000。用 $a^x = b \Leftrightarrow \log_a b = x$：
2. $$10^3 = 1000 \iff \log_{10} 1000 = 3$$
3. 对于 $\log_5 25 = 2$，底数是 5，对数值（指数）是 2，真数是 25：
4. $$\log_5 25 = 2 \iff 5^2 = 25$$

> **warning**
>
> 对数的真数必须为正。$\log_a b$ 只在 $b>0$ 时有定义，因为正底数取任意实数次幂都不可能为零或负数。

> **考试提示:** 遇到对数卡住时，立刻把它改写成幂：$\log_a b = x$ 变成 $a^x = b$。这样就把陌生的对数变成了熟悉的指数问题。

## 常用对数与自然对数

有两个底数用得非常频繁，因此有专门的简写。以 10 为底得到常用对数，记作 $\log b$（有时写作 $\lg b$）。以 $e$ 为底（$e \approx 2.718$）得到自然对数，记作 $\ln b$。

**常用对数与自然对数** — 常用对数：$\log b = \log_{10} b$，所以 $\log b = x$ 表示 $10^x = b$。 \\ 自然对数：$\ln b = \log_e b$，所以 $\ln b = x$ 表示 $e^x = b$。

*例:* $\log 100 = 2$，因为 $10^2 = 100$；$\ln e = 1$，因为 $e^1 = e$

自然对数在 IB AI SL 中处理指数增长与衰减时随处可见，因为连续增长天然用以 $e$ 为底来描述。常用对数则出现在 pH、声强、里氏震级等应用标度中。

## 用科技工具求对数的值

有些对数是整数值，可以直接看出来，比如 $\log 1000 = 3$。但大多数对数并不是整数，需要用 GDC 进行数值求值。

1. 对以10为底的对数，使用 $\log$ 键：例如 $\log 250 \approx 2.40$。
2. 对自然对数，使用 $\ln$ 键：例如 $\ln 12 \approx 2.48$。
3. 大多数 GDC 还有通用的 $\log_a b$ 模板，可以直接输入任意底数。

**例题:** 用 GDC 求 $\log 45$ 和 $\ln 20$，各保留 3 位有效数字。

1. 用 log 键（以10为底）输入 $\log 45$：
2. $$\log 45 = 1.6532\ldots \approx 1.65$$
3. 用 ln 键（以 $e$ 为底）输入 $\ln 20$：
4. $$\ln 20 = 2.9957\ldots \approx 3.00$$
5. 检验每个答案是否合理：$10^{1.65} \approx 45$，$e^{3.00} \approx 20$，都一致。

**概念自测**

检验你的理解：

1. $\log_4 16$ 的值是多少？

   - 2
   - 4
   - 8
   - 64

   *解析:* 正确！$\log_4 16 = 2$，因为 $4^2 = 16$。把对数改写成幂就能很快算出来。

## 常见错误

- **错误做法:** 把 $\log_a b$ 读成 $a^b$
  - 原因: 对数返回的是指数，不是幂。$\log_a b$ 是满足 $a^x = b$ 的那个数 $x$。
  - 正确做法: 使用 $\log_a b = x \Leftrightarrow a^x = b$：例如 $\log_2 8 = 3$，而不是 $2^8$。
- **错误做法:** 把底数和真数互换，例如写成 $\log_8 2 = 3$
  - 原因: 底数在下方，真数在里面。$\log_2 8 = 3$，但 $\log_8 2 = \frac{1}{3}$。
  - 正确做法: 把底数保持为被取幂的数：$2^3 = 8$ 给出 $\log_2 8 = 3$。
- **错误做法:** 对负数或零取对数，例如 $\log(-5)$
  - 原因: 正底数取任意实数次幂总是正的，所以非正数的对数不存在。
  - 正确做法: 说明 $\log b$ 只在 $b>0$ 时有定义。
- **错误做法:** 以为 GDC 上的 $\log$ 键是自然对数
  - 原因: 大多数计算器上 $\log$ 键是以10为底，另有单独的 $\ln$ 键表示以 $e$ 为底；混用会算错。
  - 正确做法: 以10为底用 $\log$，以 $e$ 为底用 $\ln$，或用通用的 $\log_a b$ 模板输入任意底数。

## 速查表

| 概念 | 表述 | 备注 |
| --- | --- | --- |
| 定义 | $\log_a b = x \iff a^x = b$ | $a>0, a \neq 1, b>0$ |
| 常用对数 | $\log b = \log_{10} b$ | 用 $\log$ 键 |
| 自然对数 | $\ln b = \log_e b$ | 用 $\ln$ 键，$e \approx 2.718$ |
| 底数的对数 | $\log_a a = 1$ | 因为 $a^1 = a$ |
| 1 的对数 | $\log_a 1 = 0$ | 因为 $a^0 = 1$ |
| 有效真数 | $b > 0$ | $b \leq 0$ 时对数无定义 |

## 下一步

把对数理解为指数的逆运算，是求解指数方程的基础——求解时对两边取对数，把未知数从指数位置上「拉」下来。这项技能在两份 IB AI SL 试卷中都被大量考查，并出现在指数增长与衰减、复利、半衰期等应用情境中。

- [用对数求解指数方程](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u1-solving-exponential-equations-using-logarithms/)
- [近似、绝对误差与百分比误差](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u1-approximation-absolute-and-percentage-error/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u1-simplification-of-logarithmic-expressions/