# 数与代数

> IB 数学：应用与解释 SL · 数与代数
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u1-overview/
> 占比: 占IB AI SL考试总分的18-20%

本单元是基础单元，介绍支撑IB AI SL所有其他主题的核心数与代数概念。你将培养计算、误差分析、数列、对数和金融数学方面的技能，这些技能会在整个课程中用到。

**先修:** 中学基础算术和入门代数知识

## 学习目标

- 对科学计数法和标准形式的数字进行准确计算，并计算近似值的误差
- 识别、找出等差和等比数列/级数的项，并计算其和
- 应用等比数列概念解决常见的实际金融问题
- 运用核心代数法则整理有理指数和对数表达式
- 使用对数方法求解任意底数的指数方程

## 单元概览

本单元从基础数字技能逐步过渡到代数工具，这些工具将用于本课程整个学习过程中的建模和问题解决。我们从科学计数法的数字运算开始，接着学习等差数列，然后是等比数列及其在实际金融中的应用。

之后我们会学习指数和对数法则，学习如何求解指数方程，最后学习IB AI SL所有实际问题解决都需要的近似和误差计算核心技能。

本单元分为以下子主题：
- [科学计数法数字的运算](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-sl-u1-operations-with-numbers-in-scientific/) — 对科学计数法表示的数字进行加、减、乘、除运算。
- [等差数列与等差级数](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-sl-u1-arithmetic-sequences-and-series/) — 求有限等差数列与等差级数的第n项、公差和总和。
- [等比数列与等比级数](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-sl-u1-geometric-sequences-and-series/) — 计算有限和无限等比数列与等比级数的公比、第n项和总和。
- [等比数列与级数的金融应用](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-sl-u1-financial-applications-of-geometric-sequences/) — 应用等比数列解决复利、折旧和其他常见金融问题。
- [整数指数运算律](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-sl-u1-laws-of-exponents-with-rational/) — 运用核心指数运算律化简和整理含整数指数的表达式。
- [对数入门（以10和e为底）](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-sl-u1-simplification-of-logarithmic-expressions/) — 理解对数作为指数运算逆运算的概念，并用GDC求以10和e为底的对数值。
- [用对数求解指数方程](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-sl-u1-solving-exponential-equations-using-logarithms/) — 使用对数求解任意底数含未知指数的指数方程。
- [近似值、绝对误差和百分比误差](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-sl-u1-approximation-absolute-and-percentage-error/) — 计算近似测量和计算的绝对误差与百分比误差。
- [数字的标准形式](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-sl-u1-standard-form-of-numbers/) — 在大小数值的普通数字和标准（科学）计数法之间转换。

## 常见错误

- **错误做法:** 对科学计数法的数字进行加减运算后忘记重新归一化结果
  - 原因: 很多学生只相加系数，却让结果的系数落在标准形式要求的1-10范围之外
  - 正确做法: 任何运算后，都要调整系数和指数，使其符合标准形式的定义
- **错误做法:** 混淆数列的第n项公式和求和公式
  - 原因: 等差数列和等比数列的公式足够相似，在考试压力下很容易混淆
  - 正确做法: 选择公式前，一定要确认题目要求的是某个特定项还是一组项的总和
- **错误做法:** 将常规百分比增长/衰减视为等差（线性）模式
  - 原因: 学生通常会认为重复百分比变化遵循线性序列
  - 正确做法: 要认识到百分比变化是乘法性的，因此始终遵循等比数列模式

## 速查表

| 概念/公式 | 主要用途 |
| --- | --- |
| 标准形式：$a \times 10^k$, $1 \leq a < 10$, $k \in \mathbb{Z}$ | 表示极大或极小的数字 |
| 等差数列第n项：$u_n = u_1 + (n-1)d$ | 求等差数列中的任意一项 |
| 等差数列求和：$S_n = \frac{n}{2}(u_1 + u_n)$ | 计算等差数列前n项的和 |
| 等比数列第n项：$u_n = u_1 r^{n-1}$ | 求等比数列中的任意一项 |
| 有限等比数列求和：$S_n = \frac{u_1(1 - r^n)}{1 - r}, r \neq 1$ | 计算等比数列前n项的和 |
| 复利：$FV = PV(1 + \frac{r}{100k})^{kn}$ | 计算复利投资的未来价值 |
| 指数法则：$a^m \times a^n = a^{m+n}$, $(a^m)^n = a^{mn}$ | 化简含有理指数的表达式 |
| 对数法则：$\log(ab) = \log a + \log b$, $\log a^b = b \log a$ | 化简对数表达式 |
| 百分比误差：$\frac{\|v_{approx} - v_{exact}\|}{\|v_{exact}\|} \times 100\%$ | 计算近似值的百分比误差 |

## 下一步

从第一个子主题「科学计数法数字的运算」开始学习本单元，逐步建立核心数字技能。完成本数与代数单元的所有子主题后，你将进入下一个函数单元，首先学习建立在你新获得的代数技能基础上的核心函数概念入门。

- [科学计数法数字的运算](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u1-operations-with-numbers-in-scientific/)
- [等差数列与级数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u1-arithmetic-sequences-and-series/)
- [等比数列与等比级数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u1-geometric-sequences-and-series/)

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