# 等比数列与级数的金融应用

> IB 数学 AI SL · 数与代数
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u1-financial-applications-of-geometric-sequences/

本子主题将等比数列与级数应用于常见金融问题，包括复利、资产折旧、定期储蓄年金和贷款还款。你将学习如何为考试中的增长与衰减问题建立模型。

**先修:** [等比数列与级数的性质](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u1-geometric-sequences-and-series/)

## 学习目标

- 使用等比数列建立复利增长与衰减模型
- 计算定期储蓄年金的终值
- 计算贷款和还款的年金现值
- 使用GDC求解金融问题中的时间或利率

## 复利与折旧

**复合增长与衰减** — 复合增长（利息）每期对当前价值应用固定百分比，形成公比大于1的等比数列。折旧是复合衰减，公比在0到1之间。

*例:* 一笔 \$1000 投资，年复利5%，形成数列：1000, 1050, 1102.5, ...

对于初始价值 $P$，每期固定百分比利率 $r$（以小数表示），n期后的价值公式为：

$$V_n = P(1+r)^n$$

对于折旧，替换 $(1+r)$ 为 $(1-r)$，因此 $V_n = P(1-r)^n$。

**例题:** 一辆汽车购买价为 \$25000，每年折旧12%。求5年后它的价值，结果保留整数美元。

1. 确定已知量：初始价值 $P=25000$，年折旧率 $r=0.12$，年数 $n=5$。
2. 代入复合衰减公式：
3. $$V_5 = 25000(1 - 0.12)^5 = 25000(0.88)^5$$
4. 使用计算器计算结果：
5. $$0.88^5 \approx 0.5277, \quad V_5 \approx 25000 \times 0.5277 = 13193$$

> **考试提示:** 务必确认题目要求单利还是复利。单利是线性增长，复利是几何增长。

## 普通年金的终值

**普通年金** — 每期期末支付的一系列等额定期款项，按复利计息。终值（FV）是所有支付完成后年金的总价值。

年金终值是等比级数的和，第一笔付款赚取n-1期利息，最后一笔付款不赚取利息。利用等比级数求和，得到公式：

$$FV = C \frac{(1+r)^n - 1}{r}$$

**例题:** 你每年年末在储蓄账户存入 \$200，年利率3%复利计息。10年后你账户里有多少钱？

1. 确定数值：年付款 $C=200$，利率 $r=0.03$，付款次数 $n=10$。
2. 代入终值公式：
3. $$FV = 200 \frac{(1+0.03)^{10} - 1}{0.03}$$
4. 分步计算：$(1.03)^{10} \approx 1.3439$，因此 $1.3439 - 1 = 0.3439$
5. $$FV = 200 \times \frac{0.3439}{0.03} \approx 200 \times 11.463 \approx 2292.60$$

> **考试提示:** 如果是期初付款（即付年金），将结果乘以 $(1+r)$，以计算多一期的利息。

## 贷款年金的现值

年金的现值（PV）是等于一系列未来付款的当前一次性总价值，按复利利率折现。该公式用于计算贷款初始金额或退休基金的最大定期取款额。

$$PV = C \frac{1 - (1+r)^{-n}}{r}$$

**例题:** 你申请一笔5年期个人贷款，年利率4%。你每年年末还款 \$1500。初始贷款金额是多少？

1. 我们需要计算年金现值：$C=1500$，$r=0.04$，$n=5$。
2. 代入现值公式：
3. $$PV = 1500 \frac{1 - (1.04)^{-5}}{0.04}$$
4. 计算：$(1.04)^{-5} \approx 0.8219$，因此 $1 - 0.8219 = 0.1781$
5. $$PV = 1500 \times \frac{0.1781}{0.04} \approx 1500 \times 4.4525 \approx 6678.75$$

> **考试提示:** 计算贷款总利息，使用公式：总利息 =（付款次数 × 付款金额）- 初始贷款金额。

## 求解n或r

考试题目经常要求你计算达到目标价值所需的期数 $n$ 或利率 $r$。对于IB AI SL，你需要使用GDC求解这类问题，通常通过画图或试错法。

**例题:** 5000美元投资按年复利4%增长，需要多少完整年份才能增长到 \$8000？

1. 建立复利方程：
2. $$5000(1.04)^n = 8000$$
3. 化简：两边除以5000得 $(1.04)^n = 1.6$
4. 使用GDC绘制 $y=(1.04)^x - 1.6$ 并找x截距，或试错法：
5. $n=11: (1.04)^{11} \approx 1.5395 < 1.6$；$n=12: (1.04)^{12} \approx 1.6010 > 1.6$
6. 目标在12个完整年份后达成。

> **考试提示:** 务必将n向上取整为整数期，因为利息只会在期末计入。

## 常见错误

- **错误做法:** 混淆复利和单利
  - 原因: 单利是线性增长，复利是几何增长，使用错误公式会得到错误结果
  - 正确做法: 务必检查题目表述中是'复利'还是'单利'，记住相同利率下复利增长比单利更快
- **错误做法:** 忘记调整期初付款的情况
  - 原因: 默认普通年金公式假设期末付款，因此期初付款会得到比预期更低的结果
  - 正确做法: 如果付款在每期期初，将FV或PV结果乘以 $(1+r)$
- **错误做法:** 过早对中间步骤取整
  - 原因: 最终计算前对幂或比率取整会导致结果不准确，丢失精度分
  - 正确做法: 在GDC中保留所有中间值，仅对最终答案按要求精度取整
- **错误做法:** 折旧问题使用 $(1+r)$ 而非 $(1-r)$
  - 原因: 这会得到递增而非递减的价值，对于折旧问题是错误的
  - 正确做法: 对于每期固定百分比下降，使用 $(1 - r)$ 作为公比
- **错误做法:** 求解达到目标的时间时将n向下取整
  - 原因: 目标仅在期末达成，向下取整得到的价值低于要求的目标
  - 正确做法: 对于这类问题，始终将n向上取整为下一个整数期

## 速查表

| 场景 | 公式 |
| --- | --- |
| n期后的复利 | $V_n = P(1+r)^n$ |
| n年后的年折旧 | $V_n = P(1-r)^n$ |
| 终值（普通年金） | $FV = C \frac{(1+r)^n - 1}{r}$ |
| 现值（普通年金） | $PV = C \frac{1 - (1+r)^{-n}}{r}$ |
| 贷款总利息 | $\text{Total Interest} = nC - PV$ |

## 下一步

本子主题建立在你对等比数列与级数的理解之上，用于解决IB AI SL考试中常见、高频考察的金融问题。这些知识点会同时出现在试卷1和试卷2中，通常是占多分的拓展回答题，因此熟练掌握这些公式对考试成功至关重要。掌握本内容后，你可以拓展技能解决涉及可变利率的更复杂问题，或使用对数求解利率或时间问题的精确解。这些思路也与大纲后续出现的指数建模相关。

- [有理指数的指数法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u1-laws-of-exponents-with-rational/)
- [对数表达式的化简](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u1-simplification-of-logarithmic-expressions/)
- [利用对数求解指数方程](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u1-solving-exponential-equations-using-logarithms/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u1-financial-applications-of-geometric-sequences/