# 等差数列与级数

> IB 数学：应用与解释 SL · 数与代数
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u1-arithmetic-sequences-and-series/

本模块讲解IB AI SL中等差数列与级数的核心性质。你将学习如何识别等差数列、计算单独项、求部分和，以及解决考试中常考的实际应用问题。

**先修:** 基础线性方程和代数运算; 数列和第n项的标记法

## 学习目标

- 判断数列是否为等差数列，并求出其关键参数
- 计算任意等差数列的第n项
- 求等差数列前n项的和
- 解决IB考试中常见的实际应用问题

## 什么是等差数列？

**等差数列** — 任意一对相邻两项的差都为常数的数列，这个常数称为公差。

*记法:* $u_n$ = nth term, $u_1$ = first term, $d$ = common difference

*例:* 3, 7, 11, 15... 的 $u_1=3$，$d=4$

要确认一个数列是等差数列，只需计算每对相邻两项的差。如果所有差值都相等，该数列就是等差数列；如果有任意一个差值不同，就不是等差数列。

**例题:** 2, 5, 8, 11, 15 是等差数列吗？

1. 计算第二项和第一项的差：

   $$5 - 2 = 3$$
2. 计算第三项和第二项的差：

   $$8 - 5 = 3$$
3. 计算第四项和第三项的差：

   $$11 - 8 = 3$$
4. 计算第五项和第四项的差：

   $$15 - 11 = 4$$
5. 差值并不全相等，因此该数列不是等差数列。

> **考试提示:** 确认等差数列时，务必至少检查三组相邻项的差值。

## 第n项的通项公式

我们可以从定义出发推导第n项的通项公式：首项是$u_1$，第二项是$u_1 + d$，第三项是$u_1 + 2d$，以此类推。要得到第n项，我们需要在首项的基础上加上总共$(n-1)$次$d$。

$$u_n = u_1 + (n-1)d$$

> **info**
>
> $d$可以是负数，代表数列是递减的。计算$d$时始终用第二项减第一项，就能自动得到正确的符号。

**例题:** 求等差数列 5, 9, 13, 17... 的第20项

1. 确定所需参数：

   $$u_1 = 5, \quad d = 9 - 5 = 4, \quad n = 20$$
2. 代入第n项公式：

   $$u_20 = 5 + (20 - 1)(4)$$
3. 化简得到最终结果：

   $$u_20 = 5 + 19 \times 4 = 5 + 76 = 81$$
4. 最终答案：第20项是81。

**概念自测**

检验你的理解

1. 数列 100, 92, 84... 的第12项是多少？

   - 12
   - 8
   - -8
   - -12

   *解析:* 正确: $u_1=100$, $d=-8$, so $u_12 = 100 + (11)(-8) = 12$

## 等差级数的和

**等差级数** — 等差数列前n项的和，记为$S_n$

*记法:* S_n

求和公式来源于首项和末项配对：每一对的和都是$u_1 + u_n$，总共有$\frac{n}{2}$对。该公式有两种等价形式。

$$S_n = \frac{n}{2} (u_1 + u_n)$$

$$S_n = \frac{n}{2} \left[ 2u_1 + (n-1)d \right]$$

**例题:** 求数列 2, 6, 10, 14... 前30项的和

1. 确定参数：

   $$u_1 = 2, \quad d = 4, \quad n = 30$$
2. 因为我们不知道$u_30$，所以使用含$u_1$和$d$的公式：

   $$S_30 = \frac{30}{2} \left[ 2(2) + (30 - 1)(4) \right]$$
3. 逐步化简：

   $$S_30 = 15 \left[ 4 + 116 \right] = 15 \times 120 = 1800$$
4. 最终答案：前30项的和是1800。

> **考试提示:** 如果你已知首项和末项，使用第一个求和公式可以在考试中更快算出结果。

## 实际应用

IB AI SL考试经常在实际场景中考查等差数列，包括每月固定增量储蓄、单利、资产每年恒定折旧等。核心技能是正确将文字问题转化为数列参数。

**例题:** 某人第一个月存了\$100，之后每个月多存\$20。12个月后他的总储蓄是多少？

1. 转化为数列参数：第一个月储蓄是$u_1$，每月增量是$d$，月数是$n$：

   $$u_1 = 100, \quad d = 20, \quad n = 12$$
2. 总储蓄是前12项的和，因此代入求和公式：

   $$S_12 = \frac{12}{2} \left[ 2(100) + (12 - 1)(20) \right]$$
3. 化简：

   $$S_12 = 6 \left[ 200 + 220 \right] = 6 \times 420 = 2520$$
4. 最终答案：12个月后的总储蓄是\$2520。

> **tip**
>
> 务必反复检查$n$的值：如果题目要求前k个周期，那么$n = k$，不是$k-1$。

## 常见错误

- **错误做法:** 在第n项和求和公式中使用$n$而非$n-1$
  - 原因: 首项到第n项之间只有$(n-1)$个公差，使用$n$会得到错误结果
  - 正确做法: 在两个公式中都始终写$(n-1)$，代入数值前反复检查这一点
- **错误做法:** 对递减数列使用正的$d$
  - 原因: 如果数列递减，相邻两项的差就是负数
  - 正确做法: 始终用$u_2 - u_1$计算$d$，就能自动得到正确符号
- **错误做法:** 对从第m项到第k项求和时错误计算$n$
  - 原因: 按$k - m$计数会漏掉起始项m
  - 正确做法: 包含两端计数时，使用$n = k - m + 1$得到正确的项数
- **错误做法:** 混淆第n项公式和求和公式
  - 原因: 考试题目通常会要求求单个项或者总和，混淆公式会导致丢失送分题的分数
  - 正确做法: 划出题目要求："求第10项" = 用第n项公式，"求10项的总和" = 用求和公式
- **错误做法:** 不经过检查就假设数列是等差数列
  - 原因: 考试题目有时会给出等比数列，测试你是否会检查公差是否恒定
  - 正确做法: 开始解题前，务必至少检查两组相邻项的差值

## 速查表

| 概念 | 公式 | 要点 |
| --- | --- | --- |
| 第n项 | $u_n = u_1 + (n-1)d$ | $d = u_2 - u_1$ |
| 和（已知$u_1, u_n$） | $S_n = \frac{n}{2}(u_1 + u_n)$ | 这种情况计算最快 |
| 和（已知$u_1, d$） | $S_n = \frac{n}{2}[2u_1 + (n-1)d]$ | 不知道$u_n$时使用 |
| 项数（第m项到第k项） | $n = k - m + 1$ | 包含两端计数需要加1 |

## 下一步

等差数列与级数是IB AI SL整个课程都会用到的基础离散数列类型。它们和等比数列与级数结构相似，后者是考试中考查的另一类核心数列。固定增量的逻辑也可以直接应用到你之后课程会学到的线性增长模型、线性回归和金融应用中。掌握这个知识点会让你学习更高级的数列和建模知识点简单很多。

- [等比数列与级数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u1-geometric-sequences-and-series/)
- [等比数列与级数的金融应用](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u1-financial-applications-of-geometric-sequences/)
- [有理指数的指数法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u1-laws-of-exponents-with-rational/)

---

来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u1-arithmetic-sequences-and-series/