# 近似值、绝对误差和百分比误差

> IB 数学 应用与解释 SL · 第一单元：数与代数
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u1-approximation-absolute-and-percentage-error/

本子主题教你在测量或计算结果使用近似值时量化误差，你将学习如何计算绝对误差、百分比误差，并解读IB AI SL考试题目中的误差限。

**先修:** [四舍五入与有效数字](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u1-rounding-significant-figures/)

## 学习目标

- 计算近似测量值和数值的绝对误差
- 计算百分比误差并解释其意义
- 找出四舍五入后测量值的最大误差限

## 近似值与绝对误差

**绝对误差** — 某一量的真实（精确）值与其近似值之间的绝对差，单位与原量相同。

*记法:* \Delta x = |x_{\text{true}} - x_{\text{approx}}|

*例:* 如果真实长度 = 10 cm，近似长度 = 9.8 cm，则绝对误差 = 0.2 cm

绝对误差只能告诉你误差的原始大小，无法说明误差相对于被测量大小的重要程度。1 cm的误差对于5 cm长的物体来说，远比对于100 cm长的物体影响大。

**例题:** 一名儿童的真实质量为3.42 kg，模拟秤测量结果为3.3 kg。计算该测量的绝对误差。

1. 回忆绝对误差公式：
2. $$\Delta x = |x_{\text{true}} - x_{\text{approx}}|$$
3. 将给定数值代入公式：
4. $$\Delta x = |3.42 - 3.3| = |0.12| = 0.12$$
5. 写出带对应单位的最终答案：
6. 绝对误差 = 0.12 kg

> **考试提示:** 绝对误差是与原测量量纲一致的量，因此始终要带上单位。

## 百分比误差

**百分比误差** — 一种无量纲的相对误差度量，将绝对误差表示为真实值的百分比，可比较不同大小量的误差显著性。

*记法:* \text{Percentage Error} = \left(\frac{\Delta x}{|x_{\text{true}}|}\right) \times 100\%

*例:* 3.42 kg质量的0.12 kg误差对应的百分比误差为3.5%

百分比误差是IB AI SL考试中最常考的误差类型，因为它能说明误差的相对大小。如果真实值未知，计算时可以用近似值代替真实值。

**例题:** 使用$\pi = 3.14$计算得到圆的面积为$28.27 \text{ cm}^2$，使用完整$\pi$值得到的精确面积为$28.2858 \text{ cm}^2$。计算该近似值的百分比误差。

1. 首先计算面积的绝对误差：
2. $$\Delta A = |28.2858 - 28.27| = 0.0158$$
3. 使用精确面积作为真实值，代入百分比误差公式：
4. $$\text{Percentage Error} = \left(\frac{0.0158}{28.2858}\right) \times 100\% \approx 0.056\%$$
5. 按照题目要求四舍五入到合适的有效数字位数：
6. 百分比误差 $\approx 0.06\%$

> **考试提示:** 误差答案的有效数字位数始终要与题目给出的数值保持一致。

## 四舍五入测量值的误差限

当测量值四舍五入到给定精度时，真实值落在一个称为误差限的可能值范围内。最大可能绝对误差（即误差限）是四舍五入测量值精度的一半。

**例题:** 一个距离四舍五入到最近10 m后结果为140 m。求绝对误差限和最大可能百分比误差。

1. 测量精度为10 m，因此最大绝对误差是精度的一半：
2. $$\text{Absolute error bound} = \frac{10}{2} = 5 \text{ m}$$
3. 使用近似测量值计算最大百分比误差（真实值未知）：
4. $$\text{Max Percentage Error} = \left(\frac{5}{140}\right) \times 100\% \approx 3.6\%$$
5. 写出真实值的所有可能范围：
6. 真实距离介于135 m（下界）和145 m（上界）之间

## 常见错误

- **错误做法:** 真实值已知时，将绝对误差除以近似值
  - 原因: 根据定义，百分比误差公式要求除以真实值，这个错误会丢分
  - 正确做法: 始终使用给定的真实值计算百分比误差，只有当真实值未知时才使用近似值
- **错误做法:** 忘记将结果乘以100%并添加%符号
  - 原因: 在IB考试中，把答案保留为小数而非百分比会被扣分
  - 正确做法: 始终将相对误差乘以100，并在最终答案中添加%符号
- **错误做法:** 忘记给绝对误差添加单位
  - 原因: IB阅卷老师要求绝对误差这类量纲量必须带单位
  - 正确做法: 绝对误差始终要写上与原测量相同的对应单位
- **错误做法:** 将完整精度而非一半精度作为误差限
  - 原因: 对于四舍五入到最近$n$的测量值，最大误差是$n/2$，不是$n$
  - 正确做法: 始终将测量精度除以2得到最大绝对误差限

## 速查表

| 量 | 公式 | 考试要点 |
| --- | --- | --- |
| 绝对误差 | $\Delta x = \|x_{\text{true}} - x_{\text{approx}}\|$ | 与$x$单位相同 |
| 百分比误差 | $\left(\frac{\Delta x}{\|x_{\text{true}}\|}\right) \times 100\%$ | 最常考的误差类型 |
| 最大误差限 | $\frac{\text{测量精度}}{2}$ | 真实值未知时使用 |
| 下界/上界 | $x_{\text{approx}} \pm \text{误差限}$ | 真实值介于这两个值之间 |

## 下一步

近似值和误差是IB AI SL中所有基于测量问题的基础概念，从统计学到真实世界数学建模都离不开它。在整个课程中，你处理实验数据、计算器得到的四舍五入结果以及真实世界测量问题时都会用到误差计算技巧。理解误差限还能帮助你解读后续学习中遇到的线性回归和其他统计模型结果的准确性。掌握这些基础误差概念能帮助你避免在Paper 1和Paper 2考试中因常见错误丢分。

- [函数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u2-overview/)
- [函数的概念、定义域、值域与图像](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u2-concept-of-function-domain-range/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u1-approximation-absolute-and-percentage-error/