# 分期偿还与年金

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> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u1-amortization-and-annuities/

我们涵盖普通年金、即付年金、分期偿还公式、TVM求解器工作流程，以及定期支付类金融产品的常见考试计算场景。

**先修:** [复利计算](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u1-compound-interest/); [有限等比数列求和](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u1-geometric-series/)

## 学习目标

- 区分普通年金与即付年金
- 应用分期偿还公式计算定期贷款还款额
- 计算分期偿还贷款整个还款期内支付的总利息
- 使用货币时间价值（TVM）金融求解器求解年金未知变量

## 年金核心定义

所有年金计算都直接由有限等比数列的和推导而来，其中每一笔支付都会在产品剩余期限内产生复利利息。IB AI SL考试中最常考察的两类年金是普通年金和即付年金。

**普通年金** — 利息在当期计算完成后再进行支付，这是绝大多数标准贷款和储蓄产品的默认假设。

*记法:* 期末支付

**例题:** 判断以下哪个场景描述的是普通年金：A) 每月第一天支付的房租，B) 每月最后一天支付的按揭还款

1. 普通年金要求在每个周期的期末进行支付
2. 场景A（房租）是月初支付，因此属于即付年金
3. 场景B（按揭）是月末支付，因此属于普通年金

**概念自测**

测试你对年金基础分类的理解

1. 以下哪一项属于即付年金？

   - 每周的食品杂货支出
   - 月末发放的年度薪资
   - 账单周期第一天支付的话费

   *解析:* 在计费周期期初进行支付的年金被归类为即付年金

## 现值与分期偿还

分期偿还计算使用普通年金的现值，来计算在固定期限内全额还清初始一次性贷款所需的等额定期还款额。由于每个周期你都需要为剩余未还余额支付复利利息，总还款额始终会大于初始贷款本金。

$$PMT = PV \times \frac{r}{1-(1+r)^{-n}}$$

**例题:** 计算一笔20000美元的汽车贷款的月度还款额，名义年利率6%，按月复利计息，还款期限为5年

1. 首先计算月度周期利率：r = 0.06 / 12 = 0.005
2. 计算总期数：n = 5 * 12 = 60 个月
3. 将数值代入分期偿还公式：$PMT = 20000 \times \frac{0.005}{1-(1.005)^{-60}}$
4. 计算得到最终月度还款额为386.66美元

> **提示**
>
> 对于全额分期偿还的贷款，你在TVM求解器中输入的终值参数始终应设为0，因为在还款期末剩余余额会被清零。

## 年金终值

年金终值计算的是在固定期限内向计息账户定期存入等额款项后，最终累计得到的总金额。它最常用于储蓄场景，比如退休基金或者教育储蓄计划。

$$FV = PMT \times \frac{(1+r)^n - 1}{r}$$

**例题:** 如果你在每个月末向一个年利率4.8%、按月复利计息的账户存入100美元，计算10年后的总终值

1. 计算月度利率：r = 0.048 / 12 = 0.004
2. 总期数：n = 10 * 12 = 120 个月
3. 代入终值公式：$FV = 100 \times \frac{(1.004)^{120} - 1}{0.004}$
4. 10年后最终累计金额为15390.19美元

> **说明**
>
> 注意你本人实际存入的总金额只有12000美元，剩余的3390.19美元是整个存期内产生的复利利息。

## 即付年金与TVM求解器操作流程

即付年金的每一笔支付都比普通年金早一个周期，因此每一笔支付都比普通年金多赚一个周期的复利利息。这意味着你可以将所有普通年金的计算结果乘以(1 + r)，就可以得到对应的即付年金结果。

| 变量 | 普通年金 | 即付年金调整方式 |
| --- | --- | --- |
| PV | $PMT \times \frac{1-(1+r)^{-n}}{r}$ | 将结果乘以 $(1+r)$ |
| FV | $PMT \times \frac{(1+r)^n -1}{r}$ | 将结果乘以 $(1+r)$ |

**例题:** 如果上述每月存100美元的场景改为每月月初存款，计算对应的年金终值

1. 取之前普通年金的终值结果15390.19美元
2. 乘以(1 + r) = 1.004完成即付年金调整
3. 调整后的最终终值为15451.75美元

**考试命令词**

IB考试的年金题目会使用特定的指令术语

- **Find the regular repayment** — 你需要使用分期偿还公式或TVM求解器，写出全部输入参数 *(2022 Paper 1 Q7)*

- **Calculate the total interest paid** — 从所有还款总额中减去初始贷款本金即可得到结果

## 常见错误

- **错误做法:** 直接使用年度名义利率，而没有除以复利期数
  - 原因: 这会导致定期支付频率和对应的周期利率不匹配，得到完全错误的结果
  - 正确做法: 代入公式前始终先将名义年利率除以每年的支付次数，计算出正确的r值
- **错误做法:** 贷款计算时混淆PV和FV的输入
  - 原因: 贷款使用的是PV（初始借入金额）而不是FV，如果把PV设为0会得到数学上无效的还款额
  - 正确做法: 所有全额分期偿还的贷款计算都将FV设为0，把初始贷款金额作为PV输入
- **错误做法:** 忘记对即付年金做调整
  - 原因: 期初支付的款项会多赚一个周期的利息，未调整的普通年金结果会出现偏差
  - 正确做法: 所有普通年金的PV和FV结果都乘以(1 + r)，即可得到正确的即付年金数值
- **错误做法:** 多步计算过程中对中间结果进行舍入
  - 原因: 最终还款额的偏差可能超过10美元，导致考试中丢失精度分数
  - 正确做法: 所有步骤都在图形计算器中保留完整的未舍入数值，最终结果才将货币值舍入到2位小数
- **错误做法:** 非整数期场景下忽略最后一笔部分还款
  - 原因: 如果你给出的全额定额还款会超额还清贷款余额，考官会扣除分数
  - 正确做法: 计算完n-1笔全额还款后的剩余余额，得到准确的最后一笔部分还款金额

## 速查表

| 计算类型 | 普通年金（期末支付） | 即付年金（期初支付） |
| --- | --- | --- |
| 现值 | $PV = PMT \times \frac{1-(1+r)^{-n}}{r}$ | $PV = PMT \times \frac{1-(1+r)^{-n}}{r} \times (1+r)$ |
| 终值 | $FV = PMT \times \frac{(1+r)^{n}-1}{r}$ | $FV = PMT \times \frac{(1+r)^{n}-1}{r} \times (1+r)$ |
| 分期偿还PMT | $PMT = PV \times \frac{r}{1-(1+r)^{-n}}$ | $PMT = PV \times \frac{r}{1-(1+r)^{-n}} \times \frac{1}{1+r}$ |

## 下一步

掌握分期偿还和年金知识，你就拿到了金融数学题的关键基础，这部分内容占IB Math AI SL Paper 2总分的15-20%。之后你就可以自信地处理各类常见现实场景，包括按揭计算、学生贷款还款、定期退休储蓄规划。下一步建议你练习将这些公式应用到不熟悉的多部分考题中，这类题目通常会把年金和百分比变化、通胀调整结合起来。你也可以基于这些知识拓展学习其他相关金融主题，包括汇率换算、债券估值和资产折旧，这些都是IB AI SL评估中的高频考点。请务必完成本小节的全套练习题，在模拟考试前熟练掌握计算器操作流程。

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