几何与三角 (AI SL) (Geometry and Trigonometry (AI SL)) — IB Math AI SL AI SL 学习指南

适合谁：IB Math AI SL 参加 IB Math: Applications & Interpretation SL 的考生。

覆盖内容：Voronoi图、直角与非直角三角函数、三数字方位角、立体图形表面积与体积四大考纲要求子主题。

前置知识：IGCSE / pre-DP 数学。

关于练习题：下文「练习题」一节的所有题目均为我们按 IB Math AI SL 风格编写的原创题目 (original problems)，仅用于教学。它们不是 IBO 真题的复制，措辞、数值或语境可能不同。请把它们当作练手用；评分细则请对照 IBO 官方 mark scheme。

1. 什么是几何与三角 (AI SL)？

几何与三角是IB Math AI SL考纲的Topic 3模块，在考试中占比约15%-20%，核心特点是把几何工具直接应用到实际场景（如地理选址、导航、工程建模等），没有过多抽象推导，所有考点都围绕解决实际问题设计。本模块的考题在Paper 1（无计算器）和Paper 2（可使用计算器）中均会出现，常出10-15分的综合大题，也会和统计、建模等模块结合考察。

2. Voronoi图 (Voronoi diagrams)

Voronoi图是一种空间分割模型，首先给定若干个站点 (site)，平面会被划分为多个区域 (cell)，每个区域内的任意点到对应站点的距离，都小于到其他所有站点的距离；区域之间的边界叫边 (edge)，是相邻两个站点的垂直平分线；三条或以上边的交点叫顶点 (vertex)，顶点到相邻的至少三个站点距离相等，这个距离叫外接圆半径 (circumradius)，对应的外接圆内不存在其他站点（空圆性质）。

考试常考三类问题：①给定坐标找任意点的最近站点；②求Voronoi顶点的外接圆半径（对应区域内公共服务的最大覆盖距离）；③新增站点后重划区域。

小范例：已知三个站点坐标为$A(0,0)$、$B(4,0)$、$C(2,3)$，则$A$和$B$的垂直平分线为$x=2$，$A$和$C$的垂直平分线方程为$y=-\frac{2}{3}x+\frac{13}{6}$，代入$x=2$可得顶点坐标为$(2,\frac{7}{6})$，到三个站点的距离均为$\frac{\sqrt{193}}{6}\approx 2.31$。

3. 直角与非直角三角 (Right-angle and non-right-angle trig)

你已经在pre-DP阶段掌握直角三角形的三个三角函数比： $$\sin \theta =\frac{\text{对边 (opposite)}}{\text{斜边 (hypotenuse)}},\cos \theta =\frac{\text{邻边 (adjacent)}}{\text{斜边 (hypotenuse)}},\tan \theta =\frac{\text{对边 (opposite)}}{\text{邻边 (adjacent)}}$$ 本模块新增非直角三角形的三个核心公式：

1. 正弦定理 (sine rule)：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$，其中$a$是角$A$对应的边长，$R$是三角形外接圆半径，适用于已知两角一边、或两边及其中一边的对角的场景，注意后者可能存在两个解。
2. 余弦定理 (cosine rule)：$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$，适用于已知两边夹一角、或三边求角的场景。
3. 面积公式：$Area=\frac{1}{2}ab\sin C$，其中角$C$是边$a$和边$b$的夹角，是高频考点。

小范例：已知三角形$ABC$中$a=5cm$、$b=7cm$、$\angle C=60^{\circ }$，则面积为$\frac{1}{2}\times 5\times 7\times \sin 60^{\circ }=\frac{35\sqrt{3}}{4}\approx 15.2c{m}^2$，用余弦定理求边$c$：$c^2=5^2+7^2-2\times 5\times 7\times \cos 60^{\circ }=39$，得$c=\sqrt{39}\approx 6.24cm$。

4. 三数字方位角 (Three-figure bearings)

方位角 (bearing) 是导航场景常用的角度表示方法，定义为从正北方向 (north) 顺时针旋转到目标方向的角度，固定用三位数字表示，不足三位的在前面补0：比如正北为$000^{\circ }$、正东为$090^{\circ }$、正南为$180^{\circ }$、正西为$270^{\circ }$。考试常将方位角和三角函数结合，考察两点距离、相对位置的计算。

小范例：甲从$O$点沿$030^{\circ }$方向走10km到$A$，乙从$O$点沿$120^{\circ }$方向走15km到$B$，则$\angle AOB=120^{\circ }-30^{\circ }=90^{\circ }$，三角形$AOB$为直角三角形，$AB=\sqrt{10^2+15^2}=5\sqrt{13}\approx 18.0km$。

5. 表面积与体积 (Surface area and volume)

本模块要求掌握五类常见立体图形的表面积、体积计算，所有公式考纲都会提供，但你需要熟练应用到单一图形、复合图形的计算中：

1. 体积公式：棱柱/圆柱=底面积$\times$高；棱锥/圆锥=$\frac{1}{3}\times$底面积$\times$高；球体$=\frac{4}{3}\pi r^3$。
2. 表面积公式：圆柱总表面积$=2\pi r^2+2\pi rh$；圆锥总表面积$=\pi r^2+\pi rl$（$l$为斜高）；球体$=4\pi r^2$。 考试的核心坑点是复合图形的表面积计算，需注意两个图形粘合的重合面要扣除，不能重复计算。

小范例：半径3cm的半球粘在同半径、高5cm的圆柱上，总表面积=半球曲面面积$18\pi$+圆柱侧面积$30\pi$+圆柱底面积$9\pi$= $57\pi \approx 179c{m}^2$，粘合的两个圆形面均不纳入计算。

6. 常见陷阱 (Common Pitfalls)

1. 错误做法：用正弦定理求角时只写锐角解，忽略钝角解。原因：学生默认三角形内角为锐角，忘记$\sin \alpha =\sin (180^{\circ }-\alpha )$的性质。正确做法：得到锐角解后，验证钝角解加已知角的和是否小于$180^{\circ }$，符合条件则两个解都要写出。
2. 错误做法：计算方位角时逆时针旋转，或未补全三位数字。原因：和普通角度的定义混淆。正确做法：永远从正北方向顺时针旋转，不足三位的角度前面补0，比如$25^{\circ }$要写为$025^{\circ }$。
3. 错误做法：计算复合立体表面积时计入重合面。原因：只记得单一图形的表面积公式，忽略实际粘合后重合面不再暴露的特点。正确做法：总表面积=各立体表面积之和减去$2\times$重合面面积（两个立体各少一个面）。
4. 错误做法：非直角三角形面积公式用错角。原因：随便选两个边和一个角代入公式，忽略夹角要求。正确做法：面积公式中的角必须是所选两条边的夹角。
5. 错误做法：Voronoi图边界上的点只选一个最近站点。原因：忽略边是两个站点的垂直平分线的性质。正确做法：边界上的点到两侧站点距离相等，两个都是最近站点。

7. 练习题 (IB Math AI SL 风格)

题1（Voronoi图）

某城市有三个疫苗接种点$S_1(1,2)$、$S_2(5,2)$、$S_3(3,5)$，(a) 求Voronoi顶点的坐标；(b) 顶点处的居民到最近接种点的距离是多少？

解答： (a) $S_1$和$S_2$的垂直平分线为$x=3$；$S_1$和$S_3$的中点为$(2,3.5)$，两点连线斜率为$\frac{3}{2}$，故垂直平分线斜率为$-\frac{2}{3}$，方程为$y-3.5=-\frac{2}{3}(x-2)$，代入$x=3$得$y=\frac{17}{6}$，故顶点坐标为$(3,\frac{17}{6})$。 (b) 距离为$\sqrt{(3-1{)}^2+(\frac{17}{6}-2{)}^2}=\frac{13}{6}\approx 2.17km$。

题2（非直角三角）

三角形$ABC$中，$\angle A=50^{\circ }$，边$a=8cm$，边$b=10cm$，求所有可能的$\angle B$的大小。

解答： 由正弦定理得$\frac{8}{\sin 50^{\circ }}=\frac{10}{\sin B}$，计算得$\sin B\approx 0.9575$，故$\angle B\approx 73.2^{\circ }$或$\angle B\approx 180^{\circ }-73.2^{\circ }=106.8^{\circ }$；验证两个解：$73.2^{\circ }+50^{\circ }=123.2^{\circ }<180^{\circ }$，$106.8^{\circ }+50^{\circ }=156.8^{\circ }<180^{\circ }$，均有效，故两个解为$73^{\circ }$和$107^{\circ }$（保留三位有效数字）。

题3（表面积体积）

圆锥的斜高为13cm，底面半径为5cm，(a) 求圆锥的高；(b) 求圆锥的体积；(c) 将圆锥融化后铸成一个球体，求球体的半径。

解答： (a) 由勾股定理得高$h=\sqrt{13^2-5^2}=12cm$。 (b) 体积$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi \times 25\times 12=100\pi \approx 314c{m}^3$。 (c) 球体体积等于圆锥体积：$\frac{4}{3}\pi r^3=100\pi$，解得$r=\sqrt[3]{75}\approx 4.22cm$。

8. 速查表 (Quick Reference Cheatsheet)

9. 接下来怎么学

本模块是AI SL后续空间分布分析、工程建模、优化问题等考点的基础，Paper 1和Paper 2的大题常将本模块知识点和统计、函数模块结合考察，掌握好本模块的公式和应用场景是拿高分的关键。你可以多练真题中的场景应用题，熟悉考点的出题规律。 如果你在刷题时遇到任何考点不理解、或者不会解的题目，随时可以到小欧提问，我们会为你提供针对性的讲解和配套练习。