IBO · ibo-math-ai-sl · IB Math: Applications & Interpretation SL · Functions (AI SL) / 函数 (AI SL) · 阅读约 15 分钟 · 更新于 2026-05-06

函数 (AI SL) (Functions (AI SL)) — IB Math AI SL AI SL 学习指南

适合谁：IB Math AI SL 参加 IB Math: Applications & Interpretation SL 的考生。

覆盖内容：线性、二次、指数、对数函数模型，正弦函数模型，真实世界现象建模，结合场景求解定义域与值域。

前置知识：IGCSE / pre-DP 数学。

关于练习题：下文「练习题」一节的所有题目均为我们按 IB Math AI SL 风格编写的原创题目 (original problems)，仅用于教学。它们不是 IBO 真题的复制，措辞、数值或语境可能不同。请把它们当作练手用；评分细则请对照 IBO 官方 mark scheme。

1. 什么是函数 (AI SL)？

IB Math AI SL中的函数 (Function) 核心是描述两个变量之间的对应关系：对于自变量 (independent variable) 的每一个合法取值，都有唯一的因变量 (dependent variable) 取值与之对应。和纯数学方向的函数考点不同，AI SL的函数全部围绕「实际场景建模」展开，属于官方考纲Topic 2内容，在两份试卷中占比约15%~20%，常和统计、微积分考点结合出综合题。

2. 线性、二次、指数、对数函数模型

本小节是AI SL函数的基础建模工具，所有术语首次出现标注英文：

线性函数 (linear function)：标准形式为 $y = m x + c$ ，其中 $m$ 为斜率 (gradient)，代表单位自变量变化对应的因变量变化量； $c$ 为y轴截距 (y-intercept)，代表自变量为0时的因变量初始值。适合描述匀速变化、固定费率的场景，比如出租车起步价加里程费的收费模型。
二次函数 (quadratic function)：标准形式为 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq = 0)$ ， $a$ 的符号决定抛物线开口方向，顶点坐标为 $(- \frac{b}{2 a}, f (- \frac{b}{2 a}))$ ，是函数的最值点。适合描述抛体运动、利润随销量变化的先增后减场景。
指数函数 (exponential function)：标准形式为 $y = k a^{x} + c (a > 0, a \neq = 1, k \neq = 0)$ ， $a > 1$ 为增长模型， $0 < a < 1$ 为衰减模型， $k$ 为初始值。适合描述复利、细菌繁殖、放射性衰变等增长率和当前值成正比的场景。
对数函数 (logarithmic function)：标准形式为 $y = k lo g_{a} x + c$ ，是指数函数的反函数，适合描述pH值、里氏震级等对数尺度的测量场景。

小范例：某银行复利年利率为4%，初始存入1000美元，t年后的账户余额符合指数模型 $A (t) = 1000 \times 1.0 4^{t}$ 。

3. 正弦函数模型

正弦函数模型 (sinusoidal model) 是AI SL的高频考点，专门用于描述周期性变化的现象，比如潮汐高度、摩天轮位置、季节气温变化等。标准形式为： $y = A sin (B (x + C)) + D$ 各参数的实际意义：

$A$ 为振幅 (amplitude)：代表因变量偏离中线的最大距离
$B$ 为周期参数：和周期 (period) $T$ 的关系为 $T = \frac{2 π}{B}$ ，即一次完整周期的时长
$C$ 为水平平移量 (horizontal shift)：代表模型的左右偏移
$D$ 为垂直偏移量 (vertical shift)：代表因变量的中线平均值

小范例：某地日气温符合正弦模型，最高温32℃，最低温16℃，凌晨3点气温最低，周期24小时。计算得 $A = 8$ ， $D = 24$ ， $B = \frac{π}{12}$ ， $C = - 9$ ，最终模型为 $T (t) = 8 sin (\frac{π}{12} (t - 9)) + 24$ ， $t$ 为凌晨0点后的小时数。

4. 真实世界现象建模

AI SL函数的核心考察方向就是用合适的函数模型拟合真实场景数据，考官常考的建模步骤如下：

明确自变量和因变量的实际含义
根据变化趋势选择模型：匀速变化选线性、单峰/单谷变化选二次、增长/衰减速率和当前值成正比选指数、周期性变化选正弦
代入已知坐标点求解模型参数
验证模型和已知数据的拟合度，必要时调整模型
用拟合完成的模型做预测，或解释参数的实际意义

例如某奶茶店开业后周客流量快速增长，后续增速放缓趋近于门店最大承载量，就适合用带渐近线的指数增长模型 $y = M (1 - e^{- k t})$ 拟合， $M$ 为门店最大承载客流量。

5. 结合场景求定义域与值域

定义域 (domain) 是自变量的合法取值范围，值域 (range) 是因变量的所有可能取值范围，AI SL考试中不会考察纯抽象函数的定义域值域，所有题目都会结合实际场景设置约束。求解的核心原则：先满足实际场景的物理意义，再考虑代数运算的合法性。比如时间、长度、数量不能为负，人数、产品个数必须为整数，高度不能低于地面等。

小范例：抛体运动高度模型为 $h (t) = - 4.9 t^{2} + 14.7 t + 2$ ， $h$ 为高度（单位：米）， $t$ 为抛出后时间（单位：秒）。定义域首先满足 $t \geq 0$ ，再满足高度非负 $h (t) \geq 0$ ，解得 $0 \leq t \leq 3.13$ ；值域为最低0米到顶点高度13.025米，即 $0 \leq h \leq 13.025$ 。

6. 常见陷阱 (Common Pitfalls)

错误做法：计算正弦模型周期时误用公式 $T = 2 π B$ ，搞反参数B和周期的关系。原因：死记硬背公式不结合实际验证。正确做法：记住B越大周期越短，公式为 $T = \frac{2 π}{B}$ ，算完后结合场景验证（比如24小时周期对应的B应为 $\frac{π}{12}$ ）。
错误做法：指数模型中将增长率直接作为底数，比如年增长5%写为 $y = 1000 \times 0.0 5^{t}$ 。原因：混淆增长率和增长因子的概念。正确做法：增长模型底数为 $1 + 增长率$ ，衰减模型底数为 $1 - 衰减率$ ，5%年增长对应的底数为1.05。
错误做法：求解定义域值域时只考虑代数合法，忽略实际约束，比如时间取负数、人数取小数。原因：没有意识到AI SL的核心是应用而非纯代数。正确做法：算出代数范围后，务必回头检查变量是否符合场景的物理意义。
错误做法：二次函数求最值时不看 $a$ 的符号，直接将顶点值作为最大值。原因：忽略抛物线开口方向的影响。正确做法：拿到二次函数先判断 $a$ 的符号， $a > 0$ 时顶点为最小值， $a < 0$ 时顶点为最大值。

7. 练习题 (IB Math AI SL 风格)

题1

题干：某共享电动车收费规则为：固定解锁费3元，每骑行15分钟收费2元，不足15分钟按15分钟计算。(a) 写出骑行t分钟的总费用 $C (t)$ 的线性模型；(b) 若小王骑行支付了11元，求他最多骑行的时长。解答： (a) 每15分钟收费2元，即每分钟收费 $\frac{2}{15}$ 元，模型为 $C (t) = \frac{2}{15} t + 3$ ，其中 $t$ 为15的正整数倍， $t \geq 0$ 。 (b) 令 $\frac{2}{15} t + 3 = 11$ ，解得 $t = 60$ ，即最多骑行60分钟。

题2

题干：某港口潮汐高度 $h$ （单位：米）和凌晨0点后时间 $t$ （单位：小时）的关系为 $h (t) = 2.5 sin (\frac{π}{6} (t - 3)) + 5$ 。(a) 求潮汐的最大和最小高度；(b) 求两次满潮的间隔时间。解答： (a) 振幅 $A = 2.5$ ，中线 $D = 5$ ，最大高度为 $5 + 2.5 = 7.5$ 米，最小高度为 $5 - 2.5 = 2.5$ 米。 (b) 周期 $T = \frac{2 π}{\frac{π}{6}} = 12$ 小时，即两次满潮间隔12小时。

题3

题干：某放射性元素的质量 $m$ （单位：克）和存放时间 $t$ （单位：年）的关系为 $m (t) = 800 \times 0. 5^{\frac{t}{1600}}$ 。(a) 求初始质量；(b) 求该元素的半衰期（质量衰减到一半所需的时间）。解答： (a) $t = 0$ 时， $m (0) = 800 \times 0. 5^{0} = 800$ ，初始质量为800克。 (b) 令 $800 \times 0. 5^{\frac{t}{1600}} = 400$ ，即 $0. 5^{\frac{t}{1600}} = 0.5$ ，解得 $\frac{t}{1600} = 1$ ， $t = 1600$ ，即半衰期为1600年。

8. 速查表 (Quick Reference Cheatsheet)

模型类型	标准形式	核心参数	适用场景
线性函数	$y = m x + c$	$m$ 斜率， $c$ 截距	匀速变化、固定费率
二次函数	$y = a x^{2} + b x + c$	$a$ 开口方向，顶点 $(- \frac{b}{2 a}, f (- \frac{b}{2 a}))$	抛体运动、最值优化
指数函数	$y = k a^{x} + c$	$a > 1$ 增长， $0 < a < 1$ 衰减	复利、衰变、种群增长
正弦模型	$y = A sin (B (x + C)) + D$	$A$ 振幅， $T = \frac{2 π}{B}$ 周期， $D$ 中线	潮汐、气温、周期运动
定义域值域	-	优先满足实际约束，再考虑代数合法	所有应用类题目

9. 接下来怎么学

本模块是IB Math AI SL后续统计回归、微积分应用、优化问题等章节的核心基础，函数模型的识别、参数求解、场景适配能力会贯穿整个备考周期，是必须100%掌握的核心考点。后续学习中你可以结合官方真题中的综合题，练习多知识点融合的解题思路。

如果你在练题过程中遇到任何函数相关的疑问，随时可以到小欧提问，我们会为你提供针对性的讲解和练习资源。

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