转移矩阵与马尔可夫链

IB 数学应用与解读 HL· 12 分钟阅读

1. 构造有效转移矩阵★★☆☆☆⏱ 3 min

IB AI HL 考试中所有转移矩阵严格遵循列随机规范：所有元素均为非负概率，且每一列的元素之和恰好等于1。列代表时间t的当前状态，行代表时间t+1的下一个状态。

📘 定义

转移矩阵

P

n状态马尔可夫过程对应的n×n方阵，其中元素P_{i,j}代表在一个时间步内从状态j转移到状态i的概率。

📐 例题

一个两状态的出勤模型包含「出勤」和「缺勤」两个状态。如果学生本周出勤，下周出勤的概率为0.8，缺勤的概率为0.2；如果本周缺勤，下周出勤的概率为0.5，缺勤的概率为0.5。请构造符合规范的转移矩阵P。

1
将状态按[出勤, 缺勤]的顺序同时作为列和行的排序依据
2
$P = \begin{bmatrix} P(出勤 \to 出勤) & P(缺勤 \to 出勤) \\ P(出勤 \to 缺勤) & P(缺勤 \to 缺勤) \end{bmatrix}$
3
代入题目给出的概率数值
4
$P = \begin{bmatrix} 0.8 & 0.5 \\ 0.2 & 0.5 \end{bmatrix}$
5
验证列和：0.8 + 0.2 = 1，0.5 + 0.5 = 1，确认构造无误

✓ 快速检测

测试你对有效转移矩阵性质的理解

以下哪个是符合IB规范的有效2×2转移矩阵？
- [[0.6, 0.3],[0.4, 0.7]]
- [[0.5, 0.5],[0.5, 0.5]]
- [[1.1, 0],[0, -0.1]]
显示答案
[[0.5, 0.5],[0.5, 0.5]] —
所有元素均非负，且每一列的和恰好等于1。

2. 计算k步后的状态分布★★★☆☆⏱ 3 min

初始状态分布向量S_0是一个列向量，列出了时间t=0时处于每个状态的概率。经过1步后，更新的状态为S_1 = P S_0。这个递归关系可以通过矩阵幂运算扩展到k步的情况。

🔬 推导

目标:

证明k步状态恒等式 S_k = P^k S_0

起点:

S_1 = P S_0

1
当t=2时，代入S_1可得 S_2 = P S_1 = P(P S_0) = P^2 S_0
2
使用数学归纳法：假设对于某个整数n ≥ 1，S_n = P^n S_0 成立
3
那么 S_{n+1} = P S_n = P(P^n S_0) = P^{n+1} S_0

结果:

恒等式 S_k = P^k S_0 对所有正整数k均成立

📐 例题

使用上述出勤转移矩阵P，若学生本周出勤（S_0 = [1, 0]^T），求3周后学生出勤的概率。

1
写出初始状态向量
2
$S_0 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$
3
使用图形计算器的矩阵幂功能计算P^3
4
$P^3 = \begin{bmatrix} 0.722 & 0.695 \\ 0.278 & 0.305 \end{bmatrix}$
5
将P^3与S_0相乘得到S_3
6
$S_3 = P^3 S_0 = \begin{bmatrix} 0.722 \\ 0.278 \end{bmatrix}$
7
3周后学生出勤的概率为0.722

3. 正则马尔可夫链与稳态★★★★☆⏱ 4 min

所有正则马尔可夫链当k趋近于无穷大时都会收敛到唯一的稳态分布，无论初始状态向量是什么。这个均衡值代表该过程长期停留在每个状态的时间占比。

📘 定义

稳态向量

\pi

满足 P \pi = \pi 的非负列向量，所有元素之和为1，用于归一化总概率。

📐 例题

求出勤转移矩阵 P = [[0.8, 0.5],[0.2, 0.5]] 的稳态向量

1
定义 \pi = [a, b]^T，满足 P \pi = \pi，且 a + b = 1
2
$\begin{bmatrix} 0.8 & 0.5 \\ 0.2 & 0.5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}a \\b\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a \\b\end{bmatrix}$
3
展开第一个方程：0.8a + 0.5b = a → -0.2a + 0.5b = 0
4
代入 b = 1 - a：-0.2a + 0.5(1 - a) = 0 → 0.5 = 0.7a
5
$a = 5/7 ≈ 0.714, b = 2/7 ≈ 0.286$
6
长期来看，学生约71.4%的周数出勤，约28.6%的周数缺勤

4. 马尔可夫链建模规范★★★☆☆⏱ 2 min

马尔可夫链是IB AI HL Paper 3题目的高频考点，考试会要求你调整给定模型、进行预测，并证明稳态结果在对应场景下是否符合现实。

5. 常见陷阱

错误做法:

通过对行求和来验证转移矩阵

原因:

很多通用参考资料使用行随机规范，但IB AI HL严格使用列随机矩阵

正确做法:

在进行任何计算前，务必确认每一列的和恰好等于1

错误做法:

使用 S_k = S_0 P^k（行向量乘法）

原因:

这不符合IB的列向量规范，会得到错误结果

正确做法:

保持状态向量为列向量，使用公式 S_k = P^k S_0

错误做法:

求解稳态时忘记元素和等于1的约束

原因:

方程 P \pi = \pi 是线性相关的，没有归一化条件就无法得到唯一解

正确做法:

从 P \pi = \pi 推导出的线性方程组中，替换其中一个方程为所有概率之和等于1的规则

错误做法:

假设所有马尔可夫链都有唯一稳态

原因:

非正则链（包含吸收态、周期循环）不会收敛到唯一均衡

正确做法:

计算稳态之前先确认该链是正则的

错误做法:

计算大k值的P^k时对中间结果取整

原因:

微小的舍入误差会累积，最终得到完全错误的概率值

正确做法:

在图形计算器中存储完整精度的矩阵数值，仅对最终结果取整

6. 速查表

量	公式	验证规则
转移矩阵 P	P_{i,j} = P(j \to i)	所有列和为1，无负元素
k步状态分布	S_k = P^k S_0	S_k 的所有元素之和为1
稳态 \pi	P \pi = \pi, sum(\pi) = 1	\pi 的所有元素均非负
正则链校验	找到最小的k使得 P^k > 0（所有元素>0）	P^k 中没有零元素

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

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下一步

掌握马尔可夫链是在IB AI HL Paper 3几乎每年都出现的15-20分随机建模题中拿满分的核心要求。接下来你会将这些知识扩展到吸收马尔可夫链，用于计算到达终止状态前的期望步数，以及转移矩阵在图遍历中的应用。这些技能也可以直接支撑你的内部评估，如果你选择对交通流、社交媒体用户参与度、人口迁移等现实动态系统建模的话。