# 斯皮尔曼等级相关系数

> IB 数学：应用与解释 HL · 第5单元：统计学与概率
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u5-spearman-s-rank-correlation-coefficient/

本模块讲解斯皮尔曼等级相关系数（$r_s$），它是衡量两个等级变量之间关联程度的非参数统计量。你将学习在IB考试中何时使用该系数、如何计算以及如何解释其取值。

**先修:** [皮尔逊积矩相关系数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u5-pearson-s-correlation/); [双变量数据分析](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u5-bivariate-data-analysis/)

## 学习目标

- 判断何时应使用斯皮尔曼等级相关系数而非皮尔逊相关系数
- 分别计算存在和不存在并列秩数据的斯皮尔曼$r_s$
- 结合实际情境解释$r_s$的取值含义
- 按照IB考试要求正确处理并列秩

## 何时使用斯皮尔曼$r_s$

斯皮尔曼等级相关系数衡量两个变量之间**单调关系**的强度和方向。当一个变量增加时，另一个变量要么始终增加，要么始终减少，无论变化速率是否恒定，这种关系就是单调关系。

**单调关系** — 当一个变量变化时，另一个变量始终沿同一方向变化，但变化速率不一定恒定的关系。

*例:* 随着每日热量摄入增加，成年人的体重通常会增加，但并非呈恒定线性速率增长。

皮尔逊相关系数仅能衡量线性关系，与之不同，斯皮尔曼等级相关系数适用于任何单调关系，包括非线性单调关系。当数据已经以等级而非原始数值形式给出时，也需要使用斯皮尔曼等级相关系数。

> **info**
>
> 如果题目提到等级，或散点图显示明确的非线性单调趋势，几乎可以肯定你需要使用斯皮尔曼等级相关系数。

**例题:** 一名研究员研究驾驶员年龄与事故索赔次数之间的关系，散点图显示明确的递增非线性趋势。该研究员应使用皮尔逊相关系数还是斯皮尔曼等级相关系数？

1. 检查关系类型：该关系是递增（单调）但非线性的。
2. 皮尔逊相关系数仅能衡量线性关系，因此会低估真实的关联强度。
3. 结论：该研究员应使用斯皮尔曼等级相关系数。

## 无并列秩时的计算

**斯皮尔曼等级相关系数（无并列秩）** — 使用标准公式计算：

*记法:* r_s

$$r_s = 1 - \frac{6\sum d_i^2}{n(n^2 - 1)}$$

其中： 
- $d_i$ = 第$i$对观测值的等级之差
- $n$ = 成对观测值的总数量

1. 对每个变量分别按同一方向排序（从低到高或从高到低均可）
2. 计算每对观测值两个等级的差值$d_i$
3. 对每个$d_i$取平方，求和得到$\sum d_i^2$
4. 将数值代入公式计算得到$r_s$

**例题:** 6名学生的数学和物理考试成绩如下。对成绩排序并计算斯皮尔曼$r_s$。数学成绩：85, 72, 90, 65, 78, 80。物理成绩：90, 75, 85, 60, 70, 82。

1. 数学成绩从高到低排序：[2, 5, 1, 6, 4, 3]
2. 物理成绩从高到低排序：[1, 4, 2, 6, 5, 3]
3. 计算差值$d_i$：$2-1=1$, $5-4=1$, $1-2=-1$, $6-6=0$, $4-5=-1$, $3-3=0$
4. 差值平方：$1^2=1$, $1^2=1$, $(-1)^2=1$, $0^2=0$, $(-1)^2=1$, $0^2=0$
5. 差值平方和：
6. $$\sum d_i^2 = 1 + 1 + 1 + 0 + 1 + 0 = 4$$
7. 代入公式（$n=6$）：
8. $$r_s = 1 - \frac{6 \times 4}{6(6^2 - 1)} = 1 - \frac{24}{210} \approx 0.886$$

> **考试提示**
>
> 只要两个变量的排序方向保持一致，排序方向不会影响$r_s$的最终结果。

*计算器:* allowed

## 处理并列秩

当一个变量中有两个或多个观测值取值相同时，它们就形成并列秩。我们给每个并列观测值赋予它们本应占据位置的平均值作为等级。

当存在并列秩时，上述标准公式得到的是近似值。在IB应用与解释HL考试中，该近似值始终被接受，除非题目明确要求使用完整的调整后计算（这种情况极为罕见）。

**例题:** 五名运动员的100米成绩（秒）为：12.3, 12.1, 12.2, 12.1, 12.5。给这些成绩赋予等级（速度越快等级越小）。

1. 将成绩从快到慢排序：12.1, 12.1, 12.2, 12.3, 12.5
2. 两个12.1秒占据第1和第2位。给每个赋予平均等级：$(1+2)/2 = 1.5$
3. 最终等级：1.5, 3, 4, 1.5, 5

> **tip**
>
> 大多数图形计算器（GDC）可以直接从原始数据自动计算$r_s$，即使存在并列秩也可以。考试中请务必将手动计算结果与GDC结果核对。

*计算器:* allowed

## 解释$r_s$的含义

和皮尔逊$r$一样，$r_s$的取值范围始终在$-1$到$+1$之间。符号表示单调关系的方向，绝对值表示关联强度。

| $\|r_s\|$的取值 | 关联强度 |
| --- | --- |
| $0 \leq \|r_s\| < 0.3$ | 极弱 |
| $0.3 \leq \|r_s\| < 0.5$ | 弱 |
| $0.5 \leq \|r_s\| < 0.7$ | 中等 |
| $0.7 \leq \|r_s\| < 0.9$ | 强 |
| $0.9 \leq \|r_s\| \leq 1$ | 完全单调 |

**例题:** 在之前的数学/物理考试例子中，我们得到$r_s = 0.886$，结合情境解释该取值的含义。

1. $r_s$为正，说明存在正相关关系：数学等级越高，物理等级也越高。
2. $0.886$的绝对值大于$0.7$，因此数学和物理考试成绩之间存在强正单调关系。

**考试命令词**

本知识点常见考试指令术语：

- **Interpret** — 解释$r_s$在给定情境中说明了怎样的变量关系 *(要拿到满分，你必须说明方向和强度，并结合题目中的具体变量。)*

- **Calculate** — 写出所有计算步骤，得到$r_s$的最终数值

## 常见错误

- **错误做法:** 需要使用斯皮尔曼等级相关系数时误用皮尔逊相关系数
  - 原因: 皮尔逊相关系数仅能衡量线性关系，因此对于等级数据或非线性单调数据会给出错误结果
  - 正确做法: 始终检查题目是否提到等级，或关系是否为非线性，在这些情况下使用斯皮尔曼等级相关系数
- **错误做法:** 一个变量从低到高排序，另一个从高到低排序，导致$r_s$符号错误
  - 原因: 一个变量的排序方向反转会翻转最终结果的符号，导致解释部分失分
  - 正确做法: 始终让两个变量按同一方向排序，并检查$r_s$的符号在情境中是否合理
- **错误做法:** 求和前忘记对差值$d_i$取平方
  - 原因: 这会导致$\sum d_i^2$取值错误，最终$r_s$结果错误
  - 正确做法: 求和得到差值平方和前，始终对每个差值取平方
- **错误做法:** 将相关性解释为因果关系
  - 原因: 任何相关性（包括斯皮尔曼等级相关系数）仅衡量关联，不衡量因果关系，这是常见的失分点
  - 正确做法: 除非题目明确说明这是对照实验，否则永远不要在解释中声称存在因果关系
- **错误做法:** 不对并列秩取平均，直接给所有并列观测值赋予相同的最小等级
  - 原因: 这会导致等级值错误，差值错误，最终$r_s$结果错误
  - 正确做法: 始终给每个并列值赋予它们本应占据位置的平均值作为等级

## 速查表

| 规则/性质 | 详情 |
| --- | --- |
| 适用场景 | 等级数据、非线性单调关系 |
| 标准公式 | r_s = 1 - \frac{6\sum d_i^2}{n(n^2 -1)} |
| 并列秩 | 赋予平均等级，IB考试可使用标准公式 |
| $r_s = +1$ | 完全递增单调关系 |
| $r_s = -1$ | 完全递减单调关系 |
| $r_s = 0$ | 不存在单调关系 |
| 解释方法 | 始终在情境中说明方向+强度 |

## 下一步

斯皮尔曼等级相关系数是双变量数据分析的核心工具，它突破了皮尔逊线性相关的局限性。在IB应用与解释HL中，它通常与相关性假设检验结合考查，你需要使用$r_s$检验样本数据中观测到的单调关系是否具有统计显著性。掌握何时使用哪一种相关系数是考试中高分值的技能，在试卷1和试卷2中通常会占5-6分。掌握本知识点也为你未来大学学习中会遇到的非参数统计方法奠定基础。

- [图论：基本概念](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u5-graph-theory-basic-concepts/)
- [图论：邻接矩阵、路径与环](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u5-graph-theory-adjacency-matrices-paths/)
- [生成树与最小生成树算法](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u5-spanning-trees-and-minimum-spanning/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u5-spearman-s-rank-correlation-coefficient/