概率分布：期望与方差

IB 数学 AI HL· 5 分钟阅读

1. 随机变量的期望★★☆☆☆⏱ 15 min

随机变量 $X$ 的期望记为 $E (X)$ ，是 $X$ 在多次独立试验中的理论长期平均值，也被称为分布的期望或理论均值。

📘 定义

期望

$E (X)$ or $μ_{X}$

对于概率质量函数为 $P (X = x)$ 的离散随机变量： $E (X) = \sum x \cdot P (X = x)$ 。对于概率密度函数为 $f (x)$ 的连续随机变量： $E (X) = \int_{- \infty}^{\infty} x f (x) d x$

例:

公平的六面骰子掷出结果的期望为 $3.5$

📐 例题

离散随机变量 $X$ 的概率分布为： $P (X = 1) = 0.2$ ， $P (X = 2) = 0.3$ ， $P (X = 3) = 0.5$ 。计算 $E (X)$ 。

1
回顾离散随机变量的期望公式：
2
$E(X) = \sum x \cdot P(X=x)$
3
代入分布中的取值：
4
$(1 \times 0.2) + (2 \times 0.3) + (3 \times 0.5)$
5
计算最终结果：
6
$0.2 + 0.6 + 1.5 = 2.3$

Exam tip:

计算期望前，请始终检查分布的总概率是否等于1，以此排查因遗漏取值导致的错误。

2. 方差与标准差★★★☆☆⏱ 15 min

方差衡量随机变量的结果在期望周围的离散程度。标准差是方差的平方根，单位与原随机变量一致。

📘 定义

方差

$Var (X)$ or $σ_{X}^{2}$

方差是均值离差平方的期望： $Var (X) = E [(X - E (X))^{2}] = E (X^{2}) - [E (X)]^{2}$ 。右侧的恒等式通常更便于计算。

例:

所有结果都相等的分布方差为 $0$ 。

📐 例题

对于分布 $P (X = 1) = 0.2$ ， $P (X = 2) = 0.3$ ， $P (X = 3) = 0.5$ ，计算 $Var (X)$ 和标准差。

1
由上一个例题我们已经得到 $E (X) = 2.3$ ，首先计算 $E (X^{2})$ ：
2
$E(X^2) = \sum x^2 \cdot P(X=x)$
3
代入数值：
4
$(1^2 \times 0.2) + (2^2 \times 0.3) + (3^2 \times 0.5) = 0.2 + 1.2 + 4.5 = 5.9$
5
应用方差恒等式：
6
$\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 5.9 - (2.3)^2 = 0.61$
7
计算标准差，即方差的平方根：
8
$\sigma_X = \sqrt{0.61} \approx 0.781$

Exam tip:

千万不要忘记方差公式中 $E (X)$ 需要平方，这是IB考试中最常见的扣分点之一。

3. 线性变换法则★★★☆☆⏱ 20 min

随机变量 $X$ 的线性变换得到新变量 $Y = a X + b$ ，其中 $a$ 和 $b$ 是常数。 $E (Y)$ 和 $Var (Y)$ 存在简单法则，无需重新计算整个分布，这是一项核心考试技能。

📘 定义

线性变换法则

$Y = a X + b$

期望： $E (a X + b) = a E (X) + b$ 。方差： $Var (a X + b) = a^{2} Var (X)$ 。常数平移分布不会改变其离散程度。

📐 例题

一家咖啡馆的日利润 $X$ 满足 $E (X) = $120$ ， $Var (X) = 250$ 。店主需要缴纳10%的税，再加上每日固定费用$15。求净利润的期望和方差。

1
将净利润 $Y$ 写为 $X$ 的线性变换（店主保留90%的利润再减去固定费用）：
2
$Y = 0.9X - 15$
3
利用期望法则计算期望净利润：
4
$E(Y) = 0.9E(X) - 15 = 0.9(120) - 15 = 93$
5
计算方差，记住系数0.9需要平方：
6
$\text{Var}(Y) = (0.9)^2 \text{Var}(X) = 0.81(250) = 202.5$

Exam tip:

只有缩放因子会影响方差。加减常数永远不会改变方差，因为这只会平移所有结果，不会改变其离散程度。

4. 情境中的解释★★☆☆☆⏱ 10 min

IB考试经常要求在问题情境中解释计算得到的期望、方差/标准差，而不仅仅是给出数值答案。满分需要正确的情境化解释。

📐 例题

在情境中解释上述咖啡馆例题中期望净利润$93的含义。

1
正确解释（满分）：在大量天数中，咖啡馆店主的平均每日净利润约为$93。
2
错误解释（不得分）：咖啡馆店主每天都会赚$93。这个说法错误，因为期望是长期平均值，不是单日的必然结果。

Exam tip:

解释期望时，一定要提到「长期」或「多次重复试验」才能拿到满分。

5. 常见陷阱

错误做法:

忘记方差公式中 $E (X)$ 需要平方，错写为 $Var (X) = E (X^{2}) - E (X)$

原因:

方差被定义为离差平方的期望，因此整个均值项都必须平方

正确做法:

始终明确写出公式 $Var (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2}$ ，就能记住平方

错误做法:

计算 $Var (a X + b)$ 时忘记系数 $a$ 需要平方，错写为 $a Var (X)$

原因:

方差依赖于离差的平方，因此将 $X$ 缩放 $a$ 倍会让离差缩放 $a$ 倍，离差平方缩放 $a^{2}$ 倍

正确做法:

记住： $Var (a X + b) = a^{2} Var (X)$

错误做法:

将常数 $b$ 纳入方差计算，错写为 $Var (a X + b) = a^{2} Var (X) + b^{2}$

原因:

混淆了期望和方差的法则

正确做法:

常数平移整个分布不会改变离散程度，因此 $b$ 不影响方差

错误做法:

将期望解释为最可能的结果或单次试验的结果

原因:

混淆了期望和众数，误解了期望的定义

正确做法:

始终将期望解释为多次重复试验的长期平均值

错误做法:

用求和计算连续分布的期望

原因:

过度练习离散分布导致习惯性使用求和

正确做法:

连续随机变量需要使用积分： $E (X) = \int x f (x) d x$

6. 速查表

概念	公式	要点
离散型 $E (X)$	$E (X) = \sum x P (X = x)$	对所有结果求和
连续型 $E (X)$	$E (X) = \int_{- \infty}^{\infty} x f (x) d x$	在定义域上积分
方差	$Var (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2}$	请始终使用该恒等式
期望（线性变换）	$E (a X + b) = a E (X) + b$	适用于所有分布
方差（线性变换）	$Var (a X + b) = a^{2} Var (X)$	$b$ 不影响方差
标准差	$σ_{X} = Var (X)$	单位与 $X$ 一致

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2025 · 1
计算离散分布的E(X)和Var(X)
2024 · 2
净利润期望的线性变换
2023 · 1
在情境中解释期望

下一步

期望和方差是IB AI HL中所有后续统计内容的基础概念。这些描述量是你接下来将要学习的所有常见命名概率分布（包括二项分布、泊松分布和正态分布）的基础，也是置信区间、假设检验等推断统计主题的核心。你在这里学到的线性变换法则同样适用于描述统计中的编码数据，并且在概率问题求解中会反复使用。掌握本子主题是通过Paper 1和Paper 2考试的关键。