# 概率分布：期望与方差

> IB 数学 AI HL · 统计与概率
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u5-probability-distributions-expected-value-and/

本子主题涵盖离散和连续概率分布的期望（长期平均结果）与方差（离散程度度量）的计算和解释，以及随机变量线性变换的核心法则，是IB AI HL考试中的高频考点。

**先修:** [离散与连续概率分布](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u5-discrete-and-continuous-probability-distributions/); [均值与方差的描述统计](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-descriptive-statistics/)

## 学习目标

- 计算离散和连续概率分布的期望
- 计算概率分布的方差与标准差
- 在实际情境中解释期望与方差
- 应用期望和方差的线性变换法则

## 随机变量的期望

随机变量$X$的期望记为$E(X)$，是$X$在多次独立试验中的理论长期平均值，也被称为分布的期望或理论均值。

**期望** — 对于概率质量函数为$P(X=x)$的离散随机变量：$E(X) = \sum x \cdot P(X=x)$。对于概率密度函数为$f(x)$的连续随机变量：$E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$

*记法:* $E(X)$ or $\mu_X$

*例:* 公平的六面骰子掷出结果的期望为$3.5$

**例题:** 离散随机变量$X$的概率分布为：$P(X=1)=0.2$，$P(X=2)=0.3$，$P(X=3)=0.5$。计算$E(X)$。

1. 回顾离散随机变量的期望公式：
2. $$E(X) = \sum x \cdot P(X=x)$$
3. 代入分布中的取值：
4. $$(1 \times 0.2) + (2 \times 0.3) + (3 \times 0.5)$$
5. 计算最终结果：
6. $$0.2 + 0.6 + 1.5 = 2.3$$

> **考试提示:** 计算期望前，请始终检查分布的总概率是否等于1，以此排查因遗漏取值导致的错误。

## 方差与标准差

方差衡量随机变量的结果在期望周围的离散程度。标准差是方差的平方根，单位与原随机变量一致。

**方差** — 方差是均值离差平方的期望：$\text{Var}(X) = E[(X - E(X))^2] = E(X^2) - [E(X)]^2$。右侧的恒等式通常更便于计算。

*记法:* $\text{Var}(X)$ or $\sigma_X^2$

*例:* 所有结果都相等的分布方差为$0$。

**例题:** 对于分布$P(X=1)=0.2$，$P(X=2)=0.3$，$P(X=3)=0.5$，计算$\text{Var}(X)$和标准差。

1. 由上一个例题我们已经得到$E(X) = 2.3$，首先计算$E(X^2)$：
2. $$E(X^2) = \sum x^2 \cdot P(X=x)$$
3. 代入数值：
4. $$(1^2 \times 0.2) + (2^2 \times 0.3) + (3^2 \times 0.5) = 0.2 + 1.2 + 4.5 = 5.9$$
5. 应用方差恒等式：
6. $$\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 5.9 - (2.3)^2 = 0.61$$
7. 计算标准差，即方差的平方根：
8. $$\sigma_X = \sqrt{0.61} \approx 0.781$$

> **考试提示:** 千万不要忘记方差公式中$E(X)$需要平方，这是IB考试中最常见的扣分点之一。

## 线性变换法则

随机变量$X$的线性变换得到新变量$Y = aX + b$，其中$a$和$b$是常数。$E(Y)$和$\text{Var}(Y)$存在简单法则，无需重新计算整个分布，这是一项核心考试技能。

> **info**
>
> 这些法则对离散和连续随机变量都成立，与分布的形状无关。

**线性变换法则** — 期望：$E(aX + b) = aE(X) + b$。方差：$\text{Var}(aX + b) = a^2 \text{Var}(X)$。常数平移分布不会改变其离散程度。

*记法:* $Y = aX + b$

**例题:** 一家咖啡馆的日利润$X$满足$E(X) = \$120$，$\text{Var}(X) = 250$。店主需要缴纳10%的税，再加上每日固定费用\$15。求净利润的期望和方差。

1. 将净利润$Y$写为$X$的线性变换（店主保留90%的利润再减去固定费用）：
2. $$Y = 0.9X - 15$$
3. 利用期望法则计算期望净利润：
4. $$E(Y) = 0.9E(X) - 15 = 0.9(120) - 15 = 93$$
5. 计算方差，记住系数0.9需要平方：
6. $$\text{Var}(Y) = (0.9)^2 \text{Var}(X) = 0.81(250) = 202.5$$

> **考试提示:** 只有缩放因子会影响方差。加减常数永远不会改变方差，因为这只会平移所有结果，不会改变其离散程度。

## 情境中的解释

IB考试经常要求在问题情境中解释计算得到的期望、方差/标准差，而不仅仅是给出数值答案。满分需要正确的情境化解释。

**例题:** 在情境中解释上述咖啡馆例题中期望净利润\$93的含义。

1. 正确解释（满分）：在大量天数中，咖啡馆店主的平均每日净利润约为\$93。
2. 错误解释（不得分）：咖啡馆店主每天都会赚\$93。这个说法错误，因为期望是长期平均值，不是单日的必然结果。

> **考试提示:** 解释期望时，一定要提到「长期」或「多次重复试验」才能拿到满分。

## 常见错误

- **错误做法:** 忘记方差公式中$E(X)$需要平方，错写为$\text{Var}(X) = E(X^2) - E(X)$
  - 原因: 方差被定义为离差平方的期望，因此整个均值项都必须平方
  - 正确做法: 始终明确写出公式$\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$，就能记住平方
- **错误做法:** 计算$\text{Var}(aX + b)$时忘记系数$a$需要平方，错写为$a\text{Var}(X)$
  - 原因: 方差依赖于离差的平方，因此将$X$缩放$a$倍会让离差缩放$a$倍，离差平方缩放$a^2$倍
  - 正确做法: 记住：$\text{Var}(aX + b) = a^2 \text{Var}(X)$
- **错误做法:** 将常数$b$纳入方差计算，错写为$\text{Var}(aX + b) = a^2\text{Var}(X) + b^2$
  - 原因: 混淆了期望和方差的法则
  - 正确做法: 常数平移整个分布不会改变离散程度，因此$b$不影响方差
- **错误做法:** 将期望解释为最可能的结果或单次试验的结果
  - 原因: 混淆了期望和众数，误解了期望的定义
  - 正确做法: 始终将期望解释为多次重复试验的长期平均值
- **错误做法:** 用求和计算连续分布的期望
  - 原因: 过度练习离散分布导致习惯性使用求和
  - 正确做法: 连续随机变量需要使用积分：$E(X) = \int x f(x) dx$

## 速查表

| 概念 | 公式 | 要点 |
| --- | --- | --- |
| 离散型$E(X)$ | $E(X) = \sum x P(X=x)$ | 对所有结果求和 |
| 连续型$E(X)$ | $E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$ | 在定义域上积分 |
| 方差 | $\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ | 请始终使用该恒等式 |
| 期望（线性变换） | $E(aX + b) = aE(X) + b$ | 适用于所有分布 |
| 方差（线性变换） | $\text{Var}(aX + b) = a^2 \text{Var}(X)$ | $b$不影响方差 |
| 标准差 | $\sigma_X = \sqrt{\text{Var}(X)}$ | 单位与$X$一致 |

## 下一步

期望和方差是IB AI HL中所有后续统计内容的基础概念。这些描述量是你接下来将要学习的所有常见命名概率分布（包括二项分布、泊松分布和正态分布）的基础，也是置信区间、假设检验等推断统计主题的核心。你在这里学到的线性变换法则同样适用于描述统计中的编码数据，并且在概率问题求解中会反复使用。掌握本子主题是通过Paper 1和Paper 2考试的关键。

- [二项分布、泊松分布和正态分布](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u5-binomial-poisson-and-normal-distributions/)
- [非线性回归模型](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u5-non-linear-regression-models/)
- [卡方检验：拟合优度与独立性检验](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u5-chi-squared-tests-goodness-of/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u5-probability-distributions-expected-value-and/