# 非线性回归模型

> IB 数学：应用与解释 HL · 统计与概率
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u5-non-linear-regression-models/

本模块内容包括：将常见的非线性关系（指数、幂、对数）变换为线性形式、拟合回归模型、解释参数，以及对实际双变量数据进行预测。

**先修:** [线性回归与相关性](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u5-linear-regression/); [对数性质](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u2-logarithms-exponentials/)

## 学习目标

- 将常见的非线性关系变换为线性形式以进行回归
- 对双变量数据拟合指数、幂和对数非线性模型
- 结合实际情境解释拟合后的非线性模型参数
- 使用非线性回归模型进行预测

## 常见非线性回归模型

在现实世界中，自变量$x$和因变量$y$之间的许多双变量关系都不是直线线性的。对于这些曲线趋势，线性回归的拟合效果较差，因此我们使用非线性回归来匹配数据的模式。

**非线性回归** — 一种将两个变量之间的关系建模为非线性函数的统计技术，以便更好地描述观测数据中的曲线趋势。

*例:* 随时间变化的人口增长、放射性衰变，以及球体体积和半径之间的关系都是非线性的。

- 指数增长/衰减：$y = ab^x$
- 幂模型：$y = ax^b$
- 对数模型：$y = a + b\ln x$
- 倒数模型：$y = a + \frac{b}{x}$

**例题:** 判断以下描述符合哪种标准非线性模型：汽车制动后的停车距离$d$与车速$v$的平方成正比。

1. 将比例关系转化为数学方程：
2. $$d = k v^2$$
3. 将方程与标准非线性模型形式匹配，此处$y=d$，$x=v$，$a=k$，$b=2$。
4. 该方程符合幂模型形式$y = ax^b$，因此这是一个幂非线性关系。

## 非线性模型的线性化

为了使用标准线性回归求解非线性模型的参数，我们将非线性方程变换为标准线性形式$Y = mX + c$，其中$Y$和/或$X$是原始$y$和$x$变量的变换结果。

> **tip**
>
> 对数乘积法则$\log(ab) = \log a + \log b$和幂法则$\log(a^b) = b\log a$是指数模型和幂模型正确线性化的关键。

| 模型 | 原方程 | 变换形式 | $Y$ | $X$ | 斜率$m$ | 截距$c$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 指数 | $y=ab^x$ | $\log y = \log a + (\log b)x$ | $\log y$ | $x$ | $\log b$ | $\log a$ |
| 幂 | $y=ax^b$ | $\log y = \log a + b\log x$ | $\log y$ | $\log x$ | $b$ | $\log a$ |
| 对数 | $y=a + b\ln x$ | $y=a + b\ln x$ | $y$ | $\ln x$ | $b$ | $a$ |

**例题:** 将指数衰减模型$A = A_0 e^{-\lambda t}$线性化为回归所需的线性形式。

1. 对方程两边取自然对数：
2. $$\ln A = \ln\left(A_0 e^{-\lambda t}\right)$$
3. 应用对数乘积法则和幂法则化简：
4. $$\ln A = \ln A_0 + \ln\left(e^{-\lambda t}\right) = \ln A_0 - \lambda t$$
5. 匹配线性形式$Y = mX + c$可得：$Y = \ln A$，$X = t$，斜率$m = -\lambda$，截距$c = \ln A_0$，这就是所需的线性化形式。

## 参数解释与预测

得到变换后数据的线性回归结果后，我们对变换进行逆变换，得到原非线性模型的参数。随后我们可以结合情境解释这些参数，并使用模型对给定$x$预测对应的$y$值。

> **warning**
>
> 即使你可以使用图形计算器（GDC）直接拟合非线性回归，考试题目通常仍要求你展示线性化方法，因此你必须掌握手动计算的方法。

**例题:** 对幂模型的变换后双对数（以10为底）数据进行线性回归，得到方程$\log y = 0.6 + 1.8\log x$。求原幂模型并解释指数。

1. 对两边取10为底的指数，逆变换对数变换：
2. $$10^{\log y} = 10^{0.6 + 1.8\log x}$$
3. 使用指数法则化简：$10^{a+b} = 10^a \times 10^b$ 和 $a^{bc} = (a^c)^b$
4. $$y = 10^{0.6} \times (10^{\log x})^{1.8} = 10^{0.6} x^{1.8}$$
5. 计算得$a = 10^{0.6} \approx 3.98$，因此原幂模型为：
6. $$y \approx 3.98 x^{1.8}$$
7. 解释：$y$与$x$的1.8次幂成正比，因此$x$扩大10倍会导致$y$扩大$10^{1.8} \approx 63$倍。

**概念自测**

检查你对参数计算的理解：

1. 对于一个指数模型，变换后的线性方程为$\ln y = 1.5 + 0.4x$，原模型是什么？

   - $y = 1.5 e^{0.4x}$
   - $y = e^{1.5} e^{0.4x}$
   - $y = 0.4 e^{1.5x}$

   *答案:* $y = e^{1.5} e^{0.4x}$

   *解析:* 正确：截距$c = \ln a$，因此$a = e^c = e^{1.5}$，得到$y = e^{1.5} e^{0.4x}$。

## 常见错误

- **错误做法:** 直接将线性化模型的截距作为原模型中的$a$
  - 原因: 对于指数模型和幂模型，截距是$\log a$而非$a$本身，因此这种做法会得到错误的参数值
  - 正确做法: 线性回归后，始终对截距取指数得到指数模型和幂模型的$a$
- **错误做法:** 变换过程中混用对数底数
  - 原因: 变换时用自然对数，但取指数时用10为底（反之亦然），会得到错误的最终参数
  - 正确做法: 在所有计算步骤中始终使用相同的对数底数
- **错误做法:** 在观测数据范围外进行外推预测
  - 原因: 非线性模型在数据范围外增长或衰减非常快，导致预测结果极不可靠
  - 正确做法: 仅在原始观测数据范围内进行预测，并明确指出任何外推预测都是不可靠的
- **错误做法:** 假设变换数据的高$r^2$一定能保证原模型拟合良好
  - 原因: $r^2$衡量的是变换数据的线性拟合度，而非原非线性曲线的拟合优度
  - 正确做法: 始终绘制原始数据和拟合后的非线性曲线，通过视觉确认模型拟合数据

## 速查表

| 模型类型 | 原方程 | 变换后的线性形式 | 原参数（由$Y = mX + c$得到） |
| --- | --- | --- | --- |
| 指数模型 $y=ab^x$ | $y=ab^x$ | $\log y = \log a + (\log b)x$ | $a = 10^c$, $b=10^m$（10为底对数） |
| 指数模型 $y=ab^x$ | $y=ab^x$ | $\ln y = \ln a + (\ln b)x$ | $a = e^c$, $b=e^m$（自然对数） |
| 幂模型 $y=ax^b$ | $y=ax^b$ | $\log y = \log a + b\log x$ | $a = 10^c$, $b=m$ |
| 对数模型 $y=a + b\ln x$ | $y=a + b\ln x$ | $y = a + b \ln x$ | $a=c$, $b=m$ |

## 下一步

非线性回归是IB AI HL最实用的统计工具之一，你在内部评估（IA）项目中会经常使用它对数据建模。掌握线性化技术为更高级的统计建模打下基础，理解如何变换非线性关系将你在代数中学到的对数知识与应用统计学联系起来。学习完本模块后，你可以继续学习如何使用残差分析检验非线性模型的拟合优度，或者探索时间序列分析——该领域通常使用指数非线性模型进行增长和衰减预测。

- [卡方检验：拟合优度与独立性检验](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u5-chi-squared-tests-goodness-of/)
- [总体均值的t检验与置信区间](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u5-t-tests-and-confidence-intervals/)
- [斯皮尔曼等级相关系数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u5-spearman-s-rank-correlation-coefficient/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u5-non-linear-regression-models/