学习指南

随机变量的线性变换与组合

IB 数学 AI HL· 12 分钟阅读

1. 单个随机变量的线性变换★★☆☆☆⏱ 3 min

线性变换通过固定缩放因子和固定平移量修改随机变量的每一个取值。它常被用于单位转换，例如将以千克为单位的随机变量转换为以克为单位，或者将原始考试分数调整为标准化评分曲线。

📘 定义

线性变换性质

对于常数a、b和随机变量X对于常数a、b和随机变量X

E(aX + b) = aE(X) + b，Var(aX + b) = a²Var(X)。常数平移量b不会影响方差，因为它将所有取值移动相同的幅度，不会改变数据的离散程度。

📐 例题

已知随机变量X满足E(X) = 12，Var(X) = 4，求E(3X + 7)和Var(3X + 7)。

  1. 1

    应用期望值的线性性质规则

  2. 2
    E(3X+7)=3E(X)+7=3(12)+7=43E(3X +7) = 3E(X) +7 = 3(12) +7 = 43
  3. 3

    应用方差变换规则，对缩放因子取平方，忽略常数平移项

  4. 4
    Var(3X+7)=32Var(X)=9(4)=36Var(3X +7) = 3^2 Var(X) = 9(4) = 36
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  1. 随机变量Y的均值为20，方差为9，Var(2Y - 5)等于多少？

    • 18

    • 36

    • 31

    • 13

    显示答案
    36 —

    Var(2Y -5) = 2²Var(Y) = 4*9 = 36，-5的平移项对方差没有任何影响。

2. 随机变量线性组合的期望值★★★☆☆⏱ 3 min

期望的线性性对所有随机变量都成立，无论它们是独立还是相关的。这是概率论中最灵活的性质之一，可以扩展到线性组合中任意数量的随机变量。

E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)
E(X1+X2+...+Xn)=E(X1)+E(X2)+...+E(Xn)E(X_1 + X_2 + ... + X_n) = E(X_1) + E(X_2) + ... + E(X_n)
📐 例题

单个苹果的质量A的均值为110g，单个香蕉的质量B的均值为130g，求3个苹果和2个香蕉的总质量的期望值。

  1. 1

    将总质量表示为线性组合：总质量 = 3A + 2B

  2. 2
    E(Total)=3E(A)+2E(B)=3(110)+2(130)=330+260=590gE(Total) = 3E(A) + 2E(B) = 3(110) + 2(130) = 330 + 260 = 590g

3. 独立随机变量线性组合的方差★★★★☆⏱ 3 min

与期望值不同，线性组合的方差只有在随机变量相互独立时才能简化为加权方差之和。相关变量需要额外的协方差项，除非题目明确说明，否则IB 数学 AI HL的题目中都会省略协方差项。

🔬 推导
目标:

推导独立随机变量X、Y的Var(X - Y)

起点:

Var(Z) = E(Z²) - [E(Z)]²，X和Y相互独立

  1. 1

    令Z = X - Y，展开方差的定义

  2. 2
    Var(X−Y)=E((X−Y)2)−[E(X−Y)]2Var(X-Y) = E((X-Y)^2) - [E(X-Y)]^2
  3. 3

    展开各项，利用独立性质E[XY] = E[X]E[Y]消去交叉项

  4. 4
    Var(X−Y)=Var(X)+Var(Y)Var(X-Y) = Var(X) + Var(Y)
结果:

独立变量之差的方差等于各自方差的和

📐 例题

独立随机变量X和Y满足Var(X) = 16，Var(Y) = 9，求Var(2X - 3Y)。

  1. 1

    对每个缩放因子取平方，再乘以对应的方差

  2. 2
    Var(2X−3Y)=22Var(X)+(−3)2Var(Y)Var(2X - 3Y) = 2^2 Var(X) + (-3)^2 Var(Y)
  3. 3
    =4(16)+9(9)=64+81=145= 4(16) + 9(9) = 64 + 81 = 145

4. 独立正态随机变量的和与差★★★★☆⏱ 3 min

IB 数学 AI HL考试中经常考察的一个关键性质是：独立正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布。这允许你使用标准正态累积分布函数计算组合变量的概率。

📘 定义

独立正态变量的和

若X N(μ1,σ12)，Y N(μ2,σ22)，且相互独立若X ~ N(μ₁, σ₁²)，Y ~ N(μ₂, σ₂²)，且相互独立

aX + bY ~ N(aμ₁ + bμ₂, a²σ₁² + b²σ₂²)

📐 例题

X ~ N(50, 16)，Y ~ N(30, 9)，且相互独立，求P(X > Y + 15)。

  1. 1

    整理不等式：X - Y > 15，定义新变量Z = X - Y

  2. 2
    E(Z)=50−30=20,Var(Z)=16+9=25,Z N(20,25)E(Z) = 50 - 30 = 20, Var(Z) = 16 + 9 = 25, Z ~ N(20, 25)
  3. 3

    使用图形计算器的正态累积分布函数计算P(Z > 15)

  4. 4
    P(Z>15)=0.8413P(Z > 15) = 0.8413

5. 常见陷阱

错误做法:

计算Var(aX + b)时忘记对缩放因子取平方

原因:

学生错误地将期望值的线性缩放规则套用到方差上

正确做法:

始终使用Var(aX + b) = a²Var(X)，常数b对方差没有影响

错误做法:

计算Var(X - Y)时减去方差

原因:

将方差规则与差值的期望线性性混淆

正确做法:

对于独立的X和Y，Var(X - Y) = Var(X) + Var(Y)

错误做法:

将组合方差规则应用于相关随机变量

原因:

在舍弃协方差项之前没有检查变量的独立性

正确做法:

只有当题目明确说明X和Y相互独立时，才能使用Var(aX + bY) = a²Var(X) + b²Var(Y)

错误做法:

计算组合分布时直接将标准差相加而不是方差相加

原因:

混淆了变换后变量的离散程度单位

正确做法:

先将方差求和，再取平方根得到组合后的标准差

错误做法:

假设任意两个正态随机变量的和仍然服从正态分布

原因:

在考试场景中忘记该性质成立需要满足独立性要求

正确做法:

在判定X + Y服从正态分布之前，必须先确认变量相互独立

6. 速查表

运算

期望值

方差（独立随机变量）

aX + b

aE(X) + b

a²Var(X)

X + Y

E(X) + E(Y)

Var(X) + Var(Y)

X - Y

E(X) - E(Y)

Var(X) + Var(Y)

aX + bY

aE(X) + bE(Y)

a²Var(X) + b²Var(Y)

n个相同独立X的和

nE(X)

nVar(X)

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

  • 2023 · Paper 3

    组合变量方差计算

  • 2022 · Paper 2

    正态分布求和问题

  • 2021 · Paper 3

    变换后随机变量的期望值

下一步

掌握这些线性组合规则是学习IB 数学 AI HL后续进阶主题的关键前置要求，这些主题包括线性回归、双独立样本假设检验、以及组合真实数据集的概率建模。这些性质经常在Paper 2和Paper 3的扩展问答题中考察，你通常需要说明分布性质的使用依据才能拿到全部方法步骤分。接下来你将应用这些规则求解离散随机变量线性组合的相关问题，再将框架扩展到计算总体均值差的置信区间。在继续学习之前，请务必完成配套的练习题集以巩固你的理解。