# 随机变量的线性变换与组合

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> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u5-linear-transformations-and-combinations-of/

本模块涵盖单个随机变量的缩放和平移规则、独立随机变量的和/差的均值与方差计算方法，以及如何将这些性质应用于组合正态分布以解决考试题型。

**先修:** [期望值与方差的基本性质](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u5-expected-value-variance-definitions/); [正态分布基础](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u5-normal-distribution-intro/)

## 学习目标

- 推导经过线性变换的单个随机变量的期望值与方差
- 计算独立随机变量线性组合的均值与方差
- 应用独立正态随机变量的和与差的运算规则
- 求解涉及组合随机变量分布的实际问题

## 单个随机变量的线性变换

线性变换通过固定缩放因子和固定平移量修改随机变量的每一个取值。它常被用于单位转换，例如将以千克为单位的随机变量转换为以克为单位，或者将原始考试分数调整为标准化评分曲线。

**线性变换性质** — E(aX + b) = aE(X) + b，Var(aX + b) = a²Var(X)。常数平移量b不会影响方差，因为它将所有取值移动相同的幅度，不会改变数据的离散程度。

*记法:* 对于常数a、b和随机变量X

**例题:** 已知随机变量X满足E(X) = 12，Var(X) = 4，求E(3X + 7)和Var(3X + 7)。

1. 应用期望值的线性性质规则
2. $$E(3X +7) = 3E(X) +7 = 3(12) +7 = 43$$
3. 应用方差变换规则，对缩放因子取平方，忽略常数平移项
4. $$Var(3X +7) = 3^2 Var(X) = 9(4) = 36$$

**概念自测**

测试你对基础变换规则的理解

1. 随机变量Y的均值为20，方差为9，Var(2Y - 5)等于多少？

   - 18
   - 36
   - 31
   - 13

   *解析:* Var(2Y -5) = 2²Var(Y) = 4*9 = 36，-5的平移项对方差没有任何影响。

## 随机变量线性组合的期望值

期望的线性性对所有随机变量都成立，无论它们是独立还是相关的。这是概率论中最灵活的性质之一，可以扩展到线性组合中任意数量的随机变量。

$$E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)$$

$$E(X_1 + X_2 + ... + X_n) = E(X_1) + E(X_2) + ... + E(X_n)$$

**例题:** 单个苹果的质量A的均值为110g，单个香蕉的质量B的均值为130g，求3个苹果和2个香蕉的总质量的期望值。

1. 将总质量表示为线性组合：总质量 = 3A + 2B
2. $$E(Total) = 3E(A) + 2E(B) = 3(110) + 2(130) = 330 + 260 = 590g$$

> **期望线性性的适用范围**
>
> 应用期望的线性性不需要确认变量的独立性，该规则对任意一对随机变量都成立。

## 独立随机变量线性组合的方差

与期望值不同，线性组合的方差只有在随机变量相互独立时才能简化为加权方差之和。相关变量需要额外的协方差项，除非题目明确说明，否则IB 数学 AI HL的题目中都会省略协方差项。

**推导:** 推导独立随机变量X、Y的Var(X - Y)

*起点:* Var(Z) = E(Z²) - [E(Z)]²，X和Y相互独立

1. 令Z = X - Y，展开方差的定义
2. $$Var(X-Y) = E((X-Y)^2) - [E(X-Y)]^2$$
3. 展开各项，利用独立性质E[XY] = E[X]E[Y]消去交叉项
4. $$Var(X-Y) = Var(X) + Var(Y)$$

*结论:* 独立变量之差的方差等于各自方差的和

**例题:** 独立随机变量X和Y满足Var(X) = 16，Var(Y) = 9，求Var(2X - 3Y)。

1. 对每个缩放因子取平方，再乘以对应的方差
2. $$Var(2X - 3Y) = 2^2 Var(X) + (-3)^2 Var(Y)$$
3. $$= 4(16) + 9(9) = 64 + 81 = 145$$

**考试命令词**

IB考试中该主题的题目会使用特定的指令术语

- **Show that the variance is...** — 你必须明确说明变量相互独立才能省略协方差项，才能获得全部分数

- **Calculate the standard deviation of the sum** — 你必须先对方差求和，再取平方根，不能直接将各个标准差相加

## 独立正态随机变量的和与差

IB 数学 AI HL考试中经常考察的一个关键性质是：独立正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布。这允许你使用标准正态累积分布函数计算组合变量的概率。

**独立正态变量的和** — aX + bY ~ N(aμ₁ + bμ₂, a²σ₁² + b²σ₂²)

*记法:* 若X ~ N(μ₁, σ₁²)，Y ~ N(μ₂, σ₂²)，且相互独立

**例题:** X ~ N(50, 16)，Y ~ N(30, 9)，且相互独立，求P(X > Y + 15)。

1. 整理不等式：X - Y > 15，定义新变量Z = X - Y
2. $$E(Z) = 50 - 30 = 20, Var(Z) = 16 + 9 = 25, Z ~ N(20, 25)$$
3. 使用图形计算器的正态累积分布函数计算P(Z > 15)
4. $$P(Z > 15) = 0.8413$$

> **简易记忆口诀**
>
> VAS = 方差永远相加，即使你对独立随机变量做减法，也永远不要减去方差。

## 常见错误

- **错误做法:** 计算Var(aX + b)时忘记对缩放因子取平方
  - 原因: 学生错误地将期望值的线性缩放规则套用到方差上
  - 正确做法: 始终使用Var(aX + b) = a²Var(X)，常数b对方差没有影响
- **错误做法:** 计算Var(X - Y)时减去方差
  - 原因: 将方差规则与差值的期望线性性混淆
  - 正确做法: 对于独立的X和Y，Var(X - Y) = Var(X) + Var(Y)
- **错误做法:** 将组合方差规则应用于相关随机变量
  - 原因: 在舍弃协方差项之前没有检查变量的独立性
  - 正确做法: 只有当题目明确说明X和Y相互独立时，才能使用Var(aX + bY) = a²Var(X) + b²Var(Y)
- **错误做法:** 计算组合分布时直接将标准差相加而不是方差相加
  - 原因: 混淆了变换后变量的离散程度单位
  - 正确做法: 先将方差求和，再取平方根得到组合后的标准差
- **错误做法:** 假设任意两个正态随机变量的和仍然服从正态分布
  - 原因: 在考试场景中忘记该性质成立需要满足独立性要求
  - 正确做法: 在判定X + Y服从正态分布之前，必须先确认变量相互独立

## 速查表

| 运算 | 期望值 | 方差（独立随机变量） |
| --- | --- | --- |
| aX + b | aE(X) + b | a²Var(X) |
| X + Y | E(X) + E(Y) | Var(X) + Var(Y) |
| X - Y | E(X) - E(Y) | Var(X) + Var(Y) |
| aX + bY | aE(X) + bE(Y) | a²Var(X) + b²Var(Y) |
| n个相同独立X的和 | nE(X) | nVar(X) |

## 下一步

掌握这些线性组合规则是学习IB 数学 AI HL后续进阶主题的关键前置要求，这些主题包括线性回归、双独立样本假设检验、以及组合真实数据集的概率建模。这些性质经常在Paper 2和Paper 3的扩展问答题中考察，你通常需要说明分布性质的使用依据才能拿到全部方法步骤分。接下来你将应用这些规则求解离散随机变量线性组合的相关问题，再将框架扩展到计算总体均值差的置信区间。在继续学习之前，请务必完成配套的练习题集以巩固你的理解。

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