# 卡方检验：拟合优度与独立性检验

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本模块讲解IB 数学 AI HL的两种核心卡方假设检验：拟合优度检验（检验数据是否符合声称的分布）和两个分类变量之间的独立性检验。你将学习应试所需的计算方法和结果解读。

**先修:** [假设检验基础](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u5-hypothesis-testing-basics/); [分类数据分类](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u5-data-types/)

## 学习目标

- 陈述卡方拟合优度检验和独立性检验的原假设与备择假设
- 正确计算期望频数和卡方检验统计量
- 确定两种检验类型的正确自由度
- 结合卡方检验背景得出统计上有效的结论

## 卡方拟合优度检验基础

**卡方拟合优度检验** — 一种检验观测频数分布是否符合假设的理论分布的假设检验。

*例:* 检验一个六面骰子是否公平，对比观测掷骰次数和期望均匀分布次数

所有卡方检验都使用相同的核心检验统计量公式，该公式量化了观测值与原假设下预期值之间的偏离程度：

$$\chi^2 = \sum \frac{(O - E)^2}{E}$$

**例题:** 一家诊所声称血型比例为0.45（O型）、0.40（A型）、0.11（B型）、0.04（AB型）。抽取200人的样本得到观测频数：92、75、24、9。计算卡方检验统计量。

1. 首先，将总样本量乘以每个分类的假设比例，计算期望频数：
2. $$E_O = 200 \times 0.45 = 90,\quad E_A = 200 \times 0.40 = 80,\quad E_B = 200 \times 0.11 = 22,\quad E_{AB} = 200 \times 0.04 = 8$$
3. 计算每个分类的 $(O-E)^2/E$ 项：
4. $$\frac{(92-90)^2}{90} \approx 0.044,\quad \frac{(75-80)^2}{80} = 0.3125,\quad \frac{(24-22)^2}{22} \approx 0.1818,\quad \frac{(9-8)^2}{8} = 0.125$$
5. 对所有项求和得到最终检验统计量：
6. $$\chi^2 \approx 0.044 + 0.3125 + 0.1818 + 0.125 = 0.663$$

> **tip**
>
> 一定要检查期望频数之和是否等于观测频数之和，以便尽早发现计算错误。

> **考试提示:** 如果题目要求展示卡方计算过程，一定要展示每个独立的 $(O-E)^2/E$ 项才能获得满分。

## 自由度和有效性条件

拟合优度检验的自由度取决于从样本数据中估计了假设分布的多少个参数，这是考试中常见的陷阱。

**自由度（拟合优度检验）** — 计算公式为 $\nu = n - k - 1$，其中 $n$ 是分类的数量，$k$ 是从样本中估计的分布参数数量。

*例:* 对有8个分类的正态分布进行拟合优度检验，均值和标准差都从样本估计，因此 $k=2$，自由度 $\nu = 8 - 2 - 1 = 5$

> **warning**
>
> 只有当所有期望频数都不小于5时，卡方近似才有效。如果有任何期望频数小于5，你必须在继续检验前合并相邻分类。

**例题:** 对有6个分类的均匀分布进行拟合优度检验，且没有从样本估计任何参数，求正确的自由度。

1. 确定 $n$（分类数量）和 $k$（估计参数数量）的值：
2. $$n = 6,\quad k = 0$$
3. 应用自由度公式：
4. $$\nu = 6 - 0 - 1 = 5$$

## 卡方独立性检验

卡方独立性检验利用列联表中的数据，判断两个分类变量是相关的还是独立的。

**独立性检验** — 一种卡方检验，原假设为来自同一总体的两个分类变量相互独立。

对于有 $r$ 行 $c$ 列的列联表，每个单元格的期望频数计算公式为：

$$E = \frac{\text{Row Total} \times \text{Column Total}}{\text{Grand Total}}$$

独立性检验的自由度计算公式始终为：

$$\nu = (r - 1)(c - 1)$$

**例题:** 使用3×2列联表（3行2列）检验年龄组是否与产品偏好相关，求该检验的正确自由度。

1. 确定行数 $r$ 和列数 $c$：
2. $$r = 3,\quad c = 2$$
3. 应用独立性检验的自由度公式：
4. $$\nu = (3 - 1)(2 - 1) = 2 \times 1 = 2$$

**概念自测**

检测你的理解：

1. 3×3列联表卡方独立性检验的自由度是多少？

   - 9
   - 4
   - 6
   - 3

   *解析:* 正确！$(r-1)(c-1) = (3-1)(3-1) = 2 \times 2 = 4$

## 假设与结论书写

**考试命令词**

卡方考题中常见的考试指令术语：

- **Carry out a complete chi-squared test** — 你必须完成所有步骤：陈述假设、计算检验统计量、求自由度、与临界值/p值比较，并结合题目背景写出结论 *(如果你没有结合题目背景写出结论，会被扣1-2分)*

对于所有卡方检验，原假设始终表示没有效应：对于拟合优度检验，$H_0$ = 观测分布符合理论分布。对于独立性检验，$H_0$ = 两个变量相互独立。备择假设始终表示存在效应（分布不符合/变量相关）。

得出结论的规则：如果 $\chi^2 > $ 临界值，或 $p < \alpha$（通常为0.05），则拒绝 $H_0$。否则，不拒绝 $H_0$。

## 常见错误

- **错误做法:** 当参数从样本估计时，拟合优度检验仍使用公式 $\nu = n-1$
  - 原因: 这会得到错误的自由度，导致临界值和结论都错误
  - 正确做法: 一定要先减去估计参数的数量 $k$：$\nu = n - k - 1$
- **错误做法:** 独立性检验使用公式 $\nu = rc - 1$，而非 $(r-1)(c-1)$
  - 原因: 这会高估自由度，导致显著性检验结果错误
  - 正确做法: 记住所有列联表检验的正确公式 $\nu = (r-1)(c-1)$
- **错误做法:** 不对小于5的期望频数进行调整
  - 原因: 小期望频数下卡方近似无效，因此你的结果不可靠
  - 正确做法: 计算检验统计量前，合并相邻分类使所有期望频数不小于5
- **错误做法:** 当不拒绝 $H_0$ 时，声称你已经证明了独立性
  - 原因: 不拒绝原假设仅意味着没有足够的证据拒绝它，不代表它被证明为真
  - 正确做法: 应该写‘在5%的显著性水平下，没有足够的证据得出变量相关的结论’，而非‘变量是独立的’
- **错误做法:** 忘记检查期望频数之和是否等于总样本量
  - 原因: 和不匹配明显说明计算错误，会让你失分
  - 正确做法: 一定要对期望频数求和，并确认其等于观测频数的总样本量

## 速查表

| 项目 | 公式/规则 |
| --- | --- |
| 卡方检验统计量 | $\chi^2 = \sum \frac{(O-E)^2}{E}$ |
| 期望频数（独立性检验） | $\frac{\text{行合计} \times \text{列合计}}{\text{总合计}}$ |
| 拟合优度检验自由度（k个估计参数） | $\nu = n - k - 1$ |
| 独立性检验自由度（r×c表） | $\nu = (r-1)(c-1)$ |
| 拟合优度检验 $H_0$ | 观测分布符合理论分布 |
| 独立性检验 $H_0$ | 两个分类变量相互独立 |
| 有效性条件 | 所有期望频数 $\geq 5$ |

## 下一步

卡方检验是IB 数学 AI HL统计学中最常考的主题之一，几乎每次考试的试卷1和试卷2都会出现。它也广泛应用于社科、医学、商业等领域的实际研究，是更高级分类数据分析的基础。掌握本主题还能加深你对核心假设检验逻辑的理解，这些逻辑适用于你后续学习的所有其他检验。接下来，你将学习基于本讲框架的连续数据假设检验。

- [总体均值的t检验与置信区间](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u5-t-tests-and-confidence-intervals/)
- [斯皮尔曼等级相关系数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u5-spearman-s-rank-correlation-coefficient/)
- [图论：基本概念](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u5-graph-theory-basic-concepts/)

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