二项分布、泊松分布和正态分布

IB 数学：应用与解释 HL· 5.6 常用概率分布· 25 分钟阅读

1. 二项分布★★☆☆☆⏱ 7 min

📘 定义

二项分布

$X \sim B (n, p)$

一种离散概率分布，用于对固定数量的独立伯努利试验中的成功次数建模，每次试验的成功概率恒定。

例:

10次独立抛硬币中得到正面的次数

恰好得到 $k$ 次成功的概率由以下概率质量函数给出：

P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

二项分布的期望（均值）和方差为：

E(X) = np, \quad Var(X) = np(1-p)

📐 例题

工厂生产的灯泡中有5%是次品。随机抽取10个灯泡，求恰好有2个次品的概率。

1
检查二项分布条件：固定试验次数 $n = 10$ ，两种结果（次品/非次品），恒定成功概率 $p = 0.05$ ，试验独立（总体很大），因此二项分布适用。
2
将 $k = 2$ 代入概率质量函数：
3
$P(X=2) = \binom{10}{2} (0.05)^2 (0.95)^8$
4
计算得 $(2 10) = 45$ ，化简后得到：
5
$P(X=2) \approx 0.0746$

Exam tip:

证明你选择二项分布的理由通常会得分，因此一定要在解题过程中确认四个条件。

2. 泊松分布★★★☆☆⏱ 6 min

📘 定义

泊松分布

$X \sim P o (λ)$

一种离散概率分布，用于对固定时间/空间区间内发生的事件数量建模，要求事件以已知恒定平均速率发生，且相互独立。

例:

1小时内到达咖啡店的顾客数量

恰好发生 $k$ 次事件的概率为：

P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}

泊松分布的一个关键性质是它的均值和方差都等于 $λ$ ：

E(X) = \lambda, \quad Var(X) = \lambda

📐 例题

平均每10分钟有3辆车通过人行横道，求10分钟区间内恰好有5辆车通过的概率。

1
检查泊松条件：固定区间，恒定平均速率，事件独立。因此 $X \sim P o (λ = 3)$ 。
2
将 $k = 5$ 代入概率质量函数：
3
$P(X=5) = \frac{e^{-3} 3^5}{5!}$
4
计算得 $3^{5} = 243$ ， $5! = 120$ ，因此化简得：
5
$P(X=5) \approx 0.1008$

3. 正态分布★★★☆☆⏱ 7 min

📘 定义

正态分布

$X \sim N (μ, σ^{2})$

一种连续对称的钟形概率分布，广泛用于对自然产生的连续变量建模。

例:

成年人的身高

概率密度函数为：

f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}

在IB AI HL中，你将使用图形计算器（GDC）计算正态分布的累积概率和分位数，无需直接使用概率密度函数。经验法则指出：约68%的数据落在均值1个标准差范围内，约95%落在2个范围内，约99.7%落在3个范围内。

📐 例题

已知 $X \sim N (20, 5^{2})$ ，求 $P (X < 24)$ ，以及满足 $P (X > k) = 0.1$ 的 $k$ 值。

1
首先确定参数： $μ = 20$ ， $σ = 5$ （注意第二个参数是方差，因此 $σ^{2} = 25$ ， $σ = 5$ ）。
2
对于 $P (X < 24)$ ，使用图形计算器上的累积正态分布函数：
3
结果： $P (X < 24) \approx 0.7881$
4
对于 $P (X > k) = 0.1$ ，可得 $P (X < k) = 0.9$ ，使用逆正态分布：
5
结果： $k \approx 26.41$

Exam tip:

一定要注意题目给出的是方差还是标准差；在向GDC输入参数时混淆这两个是非常常见的错误。

4. 分布间的近似★★★★☆⏱ 5 min

当某个分布的计算变得繁琐（通常是 $n$ 很大时），如果满足条件，我们可以用另一个分布来近似它。IB AI HL要求掌握两种核心近似：

二项分布的泊松近似：当 $n$ 较大（ $n > 10$ ）且 $p$ 较小（ $p < 0.1$ ）时，近似 $B (n, p)$ 为 $P o (λ = n p)$
正态近似：对于 $B (n, p)$ ，当 $n p > 5$ 且 $n (1 - p) > 5$ 时，用 $N (n p, n p (1 - p))$ 近似；对于 $P o (λ)$ ，当 $λ > 10$ 时，用 $N (λ, λ)$ 近似

📐 例题

种下1000粒种子，每粒种子发芽的概率为0.002。使用泊松近似求发芽种子少于3粒的概率。

1
检查条件： $n = 1000$ 很大， $p = 0.002$ 很小，因此泊松近似适用。 $λ = n p = 1000 \times 0.002 = 2$ 。
2
我们要求 $P (X < 3) = P (X \leq 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2)$
3
$P(X \leq 2) = \frac{e^{-2} 2^0}{0!} + \frac{e^{-2} 2^1}{1!} + \frac{e^{-2} 2^2}{2!} = 5e^{-2}$
4
化简后得到：
5
$P(X < 3) \approx 0.677$

5. 常见陷阱

错误做法:

用正态近似离散分布时忘记使用连续性修正

原因:

离散分布仅取整数值，因此省略修正会得到不准确的概率

正确做法:

用正态近似离散分布时，总是对区间边界调整±0.5

错误做法:

向GDC输入正态分布参数时混淆方差和标准差

原因:

记号 $X \sim N (μ, σ^{2})$ 中第二个参数是方差，学生经常输入错误数值

正确做法:

计算前一定要确认题目给出的是方差还是标准差，并再次检查输入

错误做法:

从小总体无放回抽样时使用二项分布

原因:

试验不独立，因此成功概率在每次抽取后发生变化

正确做法:

只有当总体大小至少是样本大小的10倍时，才使用二项分布

错误做法:

p较大时仍使用泊松近似二项分布

原因:

泊松近似仅在p很小时准确，p较大时会产生很大误差

正确做法:

当 $n p > 5$ 且 $n (1 - p) > 5$ 时，无论p大小，都使用正态近似二项分布

6. 速查表

分布	类型	记号	均值	方差	概率质量/密度函数
二项	离散	$B (n, p)$	$n p$	$n p (1 - p)$	$(k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$
泊松	离散	$P o (λ)$	$λ$	$λ$	$\frac{e ^{- λ} λ ^{k}}{k !}$
正态	连续	$N (μ, σ^{2})$	$μ$	$σ^{2}$	$\frac{1}{σ 2 π} e^{- \frac{( x - μ ) ^{2}}{2 σ ^{2}}}$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

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下一步

理解这三种核心分布是你在IB AI HL中后续几乎所有统计推断主题的基础。这些分布可用于对大量实际过程建模，从制造业的质量控制到预测顾客流量，是假设检验和置信区间计算的基础。当你能够熟练判断何时使用每种分布、证明你的选择并计算概率后，你就可以继续学习直接建立在这些知识之上的更高级统计主题了。