# 二项分布、泊松分布和正态分布

> IB 数学：应用与解释 HL · 第5单元：统计与概率
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u5-binomial-poisson-and-normal-distributions/

本子主题介绍统计建模中最常用的三种概率分布：离散型的二项分布、泊松分布，以及连续型的正态分布。你将学习各分布的适用条件、概率计算方法，以及何时可在不同分布间使用近似。

**先修:** [基础概率法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u1-probability-fundamentals/); [均值和方差的度量](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-descriptive-statistics/)

## 学习目标

- 识别二项分布、泊松分布和正态分布的适用条件
- 使用图形计算器和公式计算各分布的概率
- 判断何时可以在不同分布间使用近似
- 应用这些分布解决实际建模问题

## 二项分布

**二项分布** — 一种离散概率分布，用于对固定数量的独立伯努利试验中的成功次数建模，每次试验的成功概率恒定。

*记法:* $X \sim B(n, p)$

*例:* 10次独立抛硬币中得到正面的次数

恰好得到$k$次成功的概率由以下概率质量函数给出：

$$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$

二项分布的期望（均值）和方差为：

$$E(X) = np, \quad Var(X) = np(1-p)$$

**例题:** 工厂生产的灯泡中有5%是次品。随机抽取10个灯泡，求恰好有2个次品的概率。

1. 检查二项分布条件：固定试验次数$n=10$，两种结果（次品/非次品），恒定成功概率$p=0.05$，试验独立（总体很大），因此二项分布适用。
2. 将$k=2$代入概率质量函数：
3. $$P(X=2) = \binom{10}{2} (0.05)^2 (0.95)^8$$
4. 计算得$\binom{10}{2} = 45$，化简后得到：
5. $$P(X=2) \approx 0.0746$$

> **考试提示:** 证明你选择二项分布的理由通常会得分，因此一定要在解题过程中确认四个条件。

## 泊松分布

**泊松分布** — 一种离散概率分布，用于对固定时间/空间区间内发生的事件数量建模，要求事件以已知恒定平均速率发生，且相互独立。

*记法:* $X \sim Po(\lambda)$

*例:* 1小时内到达咖啡店的顾客数量

恰好发生$k$次事件的概率为：

$$P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$$

泊松分布的一个关键性质是它的均值和方差都等于$\lambda$：

$$E(X) = \lambda, \quad Var(X) = \lambda$$

**例题:** 平均每10分钟有3辆车通过人行横道，求10分钟区间内恰好有5辆车通过的概率。

1. 检查泊松条件：固定区间，恒定平均速率，事件独立。因此$X \sim Po(\lambda=3)$。
2. 将$k=5$代入概率质量函数：
3. $$P(X=5) = \frac{e^{-3} 3^5}{5!}$$
4. 计算得$3^5 = 243$，$5! = 120$，因此化简得：
5. $$P(X=5) \approx 0.1008$$

## 正态分布

**正态分布** — 一种连续对称的钟形概率分布，广泛用于对自然产生的连续变量建模。

*记法:* $X \sim N(\mu, \sigma^2)$

*例:* 成年人的身高

概率密度函数为：

$$f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$

在IB AI HL中，你将使用图形计算器（GDC）计算正态分布的累积概率和分位数，无需直接使用概率密度函数。经验法则指出：约68%的数据落在均值1个标准差范围内，约95%落在2个范围内，约99.7%落在3个范围内。

**例题:** 已知$X \sim N(20, 5^2)$，求$P(X < 24)$，以及满足$P(X > k) = 0.1$的$k$值。

1. 首先确定参数：$\mu = 20$，$\sigma = 5$（注意第二个参数是方差，因此$\sigma^2 = 25$，$\sigma = 5$）。
2. 对于$P(X < 24)$，使用图形计算器上的累积正态分布函数：
3. 结果：$P(X < 24) \approx 0.7881$
4. 对于$P(X > k) = 0.1$，可得$P(X < k) = 0.9$，使用逆正态分布：
5. 结果：$k \approx 26.41$

> **考试提示:** 一定要注意题目给出的是方差还是标准差；在向GDC输入参数时混淆这两个是非常常见的错误。

## 分布间的近似

当某个分布的计算变得繁琐（通常是$n$很大时），如果满足条件，我们可以用另一个分布来近似它。IB AI HL要求掌握两种核心近似：

- 二项分布的泊松近似：当$n$较大（$n>10$）且$p$较小（$p<0.1$）时，近似$B(n,p)$为$Po(\lambda = np)$
- 正态近似：对于$B(n,p)$，当$np>5$且$n(1-p)>5$时，用$N(np, np(1-p))$近似；对于$Po(\lambda)$，当$\lambda>10$时，用$N(\lambda, \lambda)$近似

> **tip**
>
> 用连续正态分布近似离散分布时，一定要使用连续性修正。对于离散的$P(X \leq k)$，连续情况下使用$P(X \leq k+0.5)$；对于离散的$P(X \geq k)$，连续情况下使用$P(X \geq k-0.5)$。

**例题:** 种下1000粒种子，每粒种子发芽的概率为0.002。使用泊松近似求发芽种子少于3粒的概率。

1. 检查条件：$n=1000$很大，$p=0.002$很小，因此泊松近似适用。$\lambda = np = 1000 \times 0.002 = 2$。
2. 我们要求$P(X < 3) = P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$
3. $$P(X \leq 2) = \frac{e^{-2} 2^0}{0!} + \frac{e^{-2} 2^1}{1!} + \frac{e^{-2} 2^2}{2!} = 5e^{-2}$$
4. 化简后得到：
5. $$P(X < 3) \approx 0.677$$

## 常见错误

- **错误做法:** 用正态近似离散分布时忘记使用连续性修正
  - 原因: 离散分布仅取整数值，因此省略修正会得到不准确的概率
  - 正确做法: 用正态近似离散分布时，总是对区间边界调整±0.5
- **错误做法:** 向GDC输入正态分布参数时混淆方差和标准差
  - 原因: 记号$X \sim N(\mu, \sigma^2)$中第二个参数是方差，学生经常输入错误数值
  - 正确做法: 计算前一定要确认题目给出的是方差还是标准差，并再次检查输入
- **错误做法:** 从小总体无放回抽样时使用二项分布
  - 原因: 试验不独立，因此成功概率在每次抽取后发生变化
  - 正确做法: 只有当总体大小至少是样本大小的10倍时，才使用二项分布
- **错误做法:** p较大时仍使用泊松近似二项分布
  - 原因: 泊松近似仅在p很小时准确，p较大时会产生很大误差
  - 正确做法: 当$np>5$且$n(1-p)>5$时，无论p大小，都使用正态近似二项分布

## 速查表

| 分布 | 类型 | 记号 | 均值 | 方差 | 概率质量/密度函数 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 二项 | 离散 | $B(n,p)$ | $np$ | $np(1-p)$ | $\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ |
| 泊松 | 离散 | $Po(\lambda)$ | $\lambda$ | $\lambda$ | $\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}$ |
| 正态 | 连续 | $N(\mu, \sigma^2)$ | $\mu$ | $\sigma^2$ | $\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$ |

## 下一步

理解这三种核心分布是你在IB AI HL中后续几乎所有统计推断主题的基础。这些分布可用于对大量实际过程建模，从制造业的质量控制到预测顾客流量，是假设检验和置信区间计算的基础。当你能够熟练判断何时使用每种分布、证明你的选择并计算概率后，你就可以继续学习直接建立在这些知识之上的更高级统计主题了。

- [非线性回归模型](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u5-non-linear-regression-models/)
- [卡方检验：拟合优度与独立性检验](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u5-chi-squared-tests-goodness-of/)
- [总体均值的t检验与置信区间](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u5-t-tests-and-confidence-intervals/)

---

来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u5-binomial-poisson-and-normal-distributions/