首先求该点的$y$坐标：

该点是$(2,0)$。求导得到斜率函数：

计算$x=2$处切线的斜率：

垂直法线的斜率为：

对两条直线都使用点斜式$y-y_1=m(x-x_1)$：

切线：$y=x-2$
法线：$y=-x+2$

计算一阶导数：

令$f^{\prime }(x)=0$，求解$x$：

解为$x=1$和$x=3$，计算对应的$y$值：

$f(1)=1-6+9+1=5⟹(1,5)$
$f(3)=27-54+27+1=1⟹(3,1)$

临界点是$(1,5)$和$(3,1)$。

由$f^{\prime }(x)=3x^2-12x+9$求二阶导数：

计算$x=1$处的$f^{\prime \prime }(x)$：

因为$f^{\prime \prime }(1)<0$，所以$(1,5)$是局部极大值点。

计算$x=3$处的$f^{\prime \prime }(x)$：

因为$f^{\prime \prime }(3)>0$，所以$(3,1)$是局部极小值点。

我们已经知道二阶导数为：

令$f^{\prime \prime }(x)=0$，求解$x$：

验证$f^{\prime \prime }(x)$在$x=2$两侧符号发生改变：

$x<2$时：$f^{\prime \prime }(x)<0$（下凹）
$x>2$时：$f^{\prime \prime }(x)>0$（上凹）

凹凸性发生改变，因此存在拐点。计算该点的$y$坐标：

拐点是$(2,3)$。