# 切线、法线、临界点、拐点

> IB 数学 AI HL · IB AI HL 微积分
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-tangents-normals-critical-points-inflection/

本小节讲解微分的核心应用：求切线和法线方程，以及确定临界点和拐点的位置。这些都是考试高频考点，是优化问题和曲线绘图的基础。

**先修:** [常用函数的基本求导](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u3-basic-differentiation/); [计算一阶和二阶导数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-first-second-derivatives/)

## 学习目标

- 求任意可导曲线的切线和法线方程
- 通过求解$f'(x) = 0$确定临界点（驻点）的位置
- 使用二阶导数测试将临界点分类为局部极大值/局部极小值点
- 识别并验证凹凸性发生改变的拐点

## 曲线的切线与法线

**切线与法线** — 曲线在$x=a$处的切线斜率等于函数在$x=a$处的一阶导数。法线在该点与切线垂直，因此法线斜率是切线斜率的负倒数。

*例:* 若切线斜率$m_t = 2$，则法线斜率$m_n = -\frac{1}{2}$

**例题:** 求$y = x^2 - 3x + 2$在$x=2$处的切线和法线方程。

1. 首先求该点的$y$坐标：
2. $$y = (2)^2 - 3(2) + 2 = 0$$
3. 该点是$(2, 0)$。求导得到斜率函数：
4. $$\frac{dy}{dx} = 2x - 3$$
5. 计算$x=2$处切线的斜率：
6. $$m_t = 2(2) - 3 = 1$$
7. 垂直法线的斜率为：
8. $$m_n = -\frac{1}{m_t} = -1$$
9. 对两条直线都使用点斜式$y - y_1 = m(x - x_1)$：
10. 切线：$y = x - 2$  
法线：$y = -x + 2$

> **tip**
>
> 一定要用原函数求$y$坐标，绝对不要用导数。导数给出的是斜率，不是函数值。

> **考试提示:** 如果题目要求，一定要将最终直线方程写成$ax + by + c = 0$的形式，形式错误会扣分。

*计算器:* allowed

## 临界点（驻点）

**临界点（驻点）** — 曲线上一阶导数等于零的点：$f'(a) = 0$，即该点的切线为水平线（斜率 = 0）。

*例:* 所有局部极大值点和局部极小值点都是临界点。

**例题:** 求$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$的所有临界点。

1. 计算一阶导数：
2. $$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$$
3. 令$f'(x) = 0$，求解$x$：
4. $$3x^2 - 12x + 9 = 0 \implies 3(x-1)(x-3) = 0$$
5. 解为$x=1$和$x=3$，计算对应的$y$值：
6. $f(1) = 1 - 6 + 9 + 1 = 5 \implies (1, 5)$  
$f(3) = 27 - 54 + 27 + 1 = 1 \implies (3, 1)$
7. 临界点是$(1, 5)$和$(3, 1)$。

*计算器:* allowed

## 临界点的分类

IB考试中最常用的临界点分类方法是**二阶导数测试**：若$f'(a) = 0$，通过计算$f''(a)$判断该点的性质：

- 若$f''(a) < 0$：该点为**局部极大值点**（下凹）
- 若$f''(a) > 0$：该点为**局部极小值点**（上凹）
- 若$f''(a) = 0$：该测试无法得出结论，需使用一阶导数符号测试

**例题:** 使用二阶导数测试对上个例子中的临界点$(1,5)$和$(3,1)$进行分类。

1. 由$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$求二阶导数：
2. $$f''(x) = 6x - 12$$
3. 计算$x=1$处的$f''(x)$：
4. $$f''(1) = 6(1) - 12 = -6 < 0$$
5. 因为$f''(1) < 0$，所以$(1, 5)$是局部极大值点。
6. 计算$x=3$处的$f''(x)$：
7. $$f''(3) = 6(3) - 12 = 6 > 0$$
8. 因为$f''(3) > 0$，所以$(3, 1)$是局部极小值点。

*计算器:* allowed

## 拐点

**拐点** — 曲线凹凸性发生改变的点。若$x=a$处是拐点，则需满足$f''(a) = 0$**且**$f''(x)$在$x=a$两侧符号改变。

*例:* $f''(x)$在该点处从负变正（或从正变负）。

**例题:** 求$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$的拐点。

1. 我们已经知道二阶导数为：
2. $$f''(x) = 6x - 12$$
3. 令$f''(x) = 0$，求解$x$：
4. $$6x - 12 = 0 \implies x = 2$$
5. 验证$f''(x)$在$x=2$两侧符号发生改变：
6. $x < 2$时：$f''(x) < 0$（下凹）  
$x > 2$时：$f''(x) > 0$（上凹）
7. 凹凸性发生改变，因此存在拐点。计算该点的$y$坐标：
8. $$f(2) = 8 - 24 + 18 + 1 = 3$$
9. 拐点是$(2, 3)$。

> **warning**
>
> 仅$f''(a) = 0$不足以确认拐点。你必须验证$f''(x)$的符号改变才能拿到满分。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 求切线/法线方程时忘记计算点的$y$坐标
  - 原因: 点斜式需要点的两个坐标才能得到完整方程
  - 正确做法: 求直线方程前，一定要将$x=a$代入原函数得到$y=f(a)$
- **错误做法:** 直接将切线斜率用作法线斜率，或是只取倒数而不取负倒数
  - 原因: 垂直直线的斜率乘积为$-1$，不是$1$
  - 正确做法: 若切线斜率为$m_t$，则法线斜率为$m_n = -\frac{1}{m_t}$（$m_t \neq 0$时）
- **错误做法:** 假设所有临界点都是极大值点或极小值点
  - 原因: 水平拐点也满足$f'(a) = 0$，但不是极值点
  - 正确做法: 一定要用一阶或二阶导数测试对所有临界点进行分类
- **错误做法:** 仅因为$f''(a) = 0$就断言存在拐点，不做符号检验
  - 原因: 例如$f(x) = x^4$，$f''(0) = 0$但凹凸性没有改变，因此不存在拐点
  - 正确做法: 一定要检验$x=a$两侧$f''(x)$的符号，确认凹凸性发生改变

## 速查表

| 概念 | 核心条件 | 结果/方程 |
| --- | --- | --- |
| $x=a$处的切线 | $m_t = f'(a)$ | $y - f(a) = m_t(x-a)$ |
| $x=a$处的法线 | $m_n = -\frac{1}{f'(a)}, f'(a) \neq 0$ | $y - f(a) = m_n(x-a)$ |
| 临界点 | $f'(a) = 0$ | $(a, f(a))$处切线为水平线 |
| 局部极大值点 | $f'(a) = 0, f''(a) < 0$ | 下凹的极值点 |
| 局部极小值点 | $f'(a) = 0, f''(a) > 0$ | 上凹的极值点 |
| 拐点 | $f''(a) = 0$，凹凸性改变 | 曲线曲率方向发生改变 |

## 下一步

本小节涵盖的技能是IB AI HL中所有微分应用问题的基础。你会用切线和法线解决变化率问题，用临界点解决实际优化问题，并用所有这些概念根据导数信息绘制准确的曲线。掌握本小节内容是在微积分长问答题中拿满分的关键，这类问题在考试中占分比重很大。

- [优化问题](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-optimization-problems/)
- [相关变化率](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-related-rates/)
- [单调函数、二阶导数判别法](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-monotonic-functions-second-derivative-test/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-tangents-normals-critical-points-inflection/