# 相关变化率

> IB 数学：应用与解释 HL · 微积分
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-related-rates/

相关变化率利用链式法则，将多个随时间变化的物理量的变化率联系起来。本子主题涵盖IB HL考试中常考的常见应用情景和解题方法。

**先修:** [基本求导法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u3-basic-differentiation/)

## 学习目标

- 从实际情景中识别并建立相关变化率问题
- 利用链式法则对相关量关于时间求导，建立变化率之间的联系
- 求解IB常见情景中的相关变化率应用问题
- 在原问题情景中解释结果

## 建立相关变化率问题

相关变化率的核心思想是：如果两个物理量由一个方程联系，那么它们对时间的变化率也存在关联。我们可以使用一套统一的分步流程来解决这类问题。

**相关变化率** — 已知一个或多个随时间$t$变化的相关量的变化率，要求解另一个量的变化率的问题。

*例:* 已知水箱排水速度，求水位下降的速度

1. 列出所有已知量和需要求变化率的量，将变化率标记为关于时间的导数。
2. 写出联系所有相关量的方程。
3. 对方程两边关于时间$t$求导（利用链式法则）。
4. 代入已知值，求解未知变化率。
5. 在问题情景中解释你的结果。

> **考试提示:** 一开始解题时一定要标记每个变量的含义。即使最终答案错误，考官也会给清晰的步骤建立过程方法分。

## 常见几何相关变化率问题

IB考试中大多数相关变化率问题都使用几何情景，物理量之间的关系来自标准几何公式。最常见的是直角三角形、圆、球体和圆锥。

**例题:** 一把5m长的梯子靠在竖直墙上，梯子底部以0.8 m/s的速度远离墙滑动。当梯子底部距离墙3m时，梯子顶端下滑的速度是多少？

1. 步骤1：定义变量：$x =$ 梯子底部到墙的距离，$y =$ 梯子顶端到地面的高度。已知$\frac{dx}{dt} = 0.8$ m/s，求当$x=3$时的$\frac{dy}{dt}$。
2. 步骤2：通过勾股定理建立$x$和$y$的关系：
3. $$x^2 + y^2 = 5^2 = 25$$
4. 步骤3：对两边关于$t$求导（利用链式法则）：
5. $$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0 \implies x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt} = 0$$
6. 步骤4：求$x=3$时的$y$：$y = \sqrt{25 - 3^2} = 4$ m。代入已知值：
7. $$(3)(0.8) + 4 \frac{dy}{dt} = 0$$
8. 步骤5：求解$\frac{dy}{dt}$并解释：
9. $$\frac{dy}{dt} = -0.6 \text{ m/s}$$
10. 负号表示$y$在减小，因此梯子顶端以0.6 m/s的速度下滑。

> **tip**
>
> 对于圆锥体积问题，利用半径和高度的固定比例（来自恒定顶角）在求导前消去一个变量，可以简化计算过程。

## 运动物体的相关变化率

IB另一个常见情景是两个物体互相垂直运动，我们需要求它们之间距离的变化率。符号约定在这里尤其重要。

**例题:** 汽车A从交叉口出发向南行驶，速度为60 km/h，汽车B向东行驶驶向交叉口，速度为80 km/h。当汽车A在交叉口以北0.5 km，汽车B在交叉口以西1.2 km时，两车之间距离的变化率是多少？

1. 步骤1：定义变量：$a =$ A到交叉口的距离，$b =$ B到交叉口的距离，$s =$ 两车之间的距离。已知$\frac{da}{dt} = 60$ km/h（a在增大），$\frac{db}{dt} = -80$ km/h（b在减小）。
2. 步骤2：建立变量关系：
3. $$s^2 = a^2 + b^2$$
4. 步骤3：对$t$求导：
5. $$s \frac{ds}{dt} = a \frac{da}{dt} + b \frac{db}{dt}$$
6. 步骤4：计算$s = \sqrt{0.5^2 + 1.2^2} = 1.3$ km，代入数值：
7. $$1.3 \frac{ds}{dt} = (0.5)(60) + (1.2)(-80) = -66$$
8. 步骤5：求解并解释：
9. $$\frac{ds}{dt} \approx -50.8 \text{ km/h}$$
10. 两车之间的距离以约50.8 km/h的速度减小。

**概念自测**

测试你对符号约定的理解：

1. 一个球形气球正在充气，半径以2 cm/s的速度增加。$\frac{dV}{dt}$的符号是什么？

   - 正
   - 负
   - 零

   *解析:* 体积随半径增大而增大，因此体积对时间的变化率为正。

## 考试要求与结果解释

在IB考试中，题目几乎总是要求你为最终答案加上单位，并且在被要求时解释结果符号的含义。

**考试命令词**

相关变化率问题的常见命令术语：

- **Find the rate** — 计算未知变化率的数值，包含正确单位 *(除单位外不需要额外解释)*

- **State whether the quantity is increasing/decreasing** — 利用导数的符号回答这个问题 *(负变化率 = 减小，正变化率 = 增大)*

> **info**
>
> 除非另有说明，否则始终将最终答案保留三位有效数字，这是IB数学考试的标准要求。

## 常见错误

- **错误做法:** 忘记应用链式法则，对时间$t$以外的变量求导
  - 原因: 如果你对错误的变量求导，就无法得到时间变化率之间的正确关系
  - 正确做法: 始终对等式两边关于$t$求导（利用链式法则），对所有变量项使用链式法则
- **错误做法:** 给已知变化率分配错误的符号，尤其是对减小的量
  - 原因: 错误的符号会导致错误的最终值，以及对量是增大还是减小的错误解释
  - 正确做法: 明确定义你的变量，对任何随时间减小的量分配负变化率
- **错误做法:** 求导前就代入特定时刻的已知值
  - 原因: 常数值的导数为零，会错误地将该项从求导后的方程中消去
  - 正确做法: 先对一般方程求导，完成求导后再代入已知值
- **错误做法:** 圆锥问题同时保留半径和高度两个变量
  - 原因: 这需要使用乘积法则，导致计算过程过于复杂，出错概率更高
  - 正确做法: 利用给定圆锥半径和高度的固定比例关系，在求导前消去一个变量
- **错误做法:** 忘记给最终答案加上单位
  - 原因: 即使数值正确，考官也经常会因缺少单位扣分
  - 正确做法: 始终给最终的变化率答案加上合适的单位（例如 m/s、km/h）

## 速查表

| 步骤 | 操作 |
| --- | --- |
| 1 | 列出已知/要求的变化率，标记所有变量 |
| 2 | 写出联系所有量的方程 |
| 3 | 关于$t$求导（利用链式法则） |
| 4 | 求导后代入已知值 |
| 5 | 求解未知变化率 |
| 6 | 加上单位，解释结果的符号 |

## 下一步

相关变化率是核心的应用求导主题，符合IB数学AI HL对问题解决能力的考察要求。掌握在这里建立情景微积分问题的流程，能帮助你准备占考试分数很大比例的扩展回答题。你在这里使用的链式法则技能也是后续包括参数方程和微分方程在内主题的基础。接下来你将进入积分的学习，积分是求导的逆运算，它可以让你解决从面积计算到运动学的广泛附加应用问题。

- [原函数与不定积分](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-antiderivatives-and-indefinite-integration/)
- [定积分与曲线下面积](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-definite-integrals-and-area-under/)
- [换元积分法](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-integration-techniques-substitution-and-by/)

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