# 微积分

> IB 数学：应用与解释 HL · IB AI HL
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-overview/
> 占比: 占IB AI HL考试总分的20-25%

本单元涵盖从微分、积分到微分方程的核心微积分内容，是IB AI HL中分值权重最高的主题，用于在各类应用场景中对现实世界现象建模。

**先修:** [第三单元：函数与方程](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u3-overview/)

## 学习目标

- 利用极限的思想解释微分与积分的概念基础
- 运用微分与积分法则计算常用函数的导数和积分
- 使用微积分分析函数性质，解决包括优化和相关变化率在内的应用问题
- 建立并求解一阶微分方程，对现实世界的增长、衰减和逻辑增长过程建模
- 使用积分计算应用问题和图形问题中的面积与旋转体体积

## 单元概览

我们从导数的概念基础逐步推进到应用问题求解与建模，每个新技能都建立在之前的基础上。我们从微分开始，然后用它分析函数、解决应用问题。接下来我们讲解积分、积分技巧，以及它在面积和体积计算中的应用。最后，我们以用于现实世界建模的一阶微分方程结束本单元。

本单元包含以下子主题：
- [微分法则：幂法则、乘积法则、商法则、链式法则](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-hl-u4-differentiation-rules-power-product-quotient/) — 学习核心法则，快速计算复杂组合函数的导数。
- [标准函数的导数](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-hl-u4-derivatives-of-standard-functions/) — 记忆并应用多项式、指数函数、对数函数和三角函数的导数公式。
- [切线、法线、临界点、拐点](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-hl-u4-tangents-normals-critical-points-inflection/) — 使用导数求切线/法线方程，确定函数图像上关键点的位置。
- [单调函数、二阶导数测试](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-hl-u4-monotonic-functions-second-derivative-test/) — 使用导数对极值分类，确定函数的递增和递减区间。
- [优化问题](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-hl-u4-optimization-problems/) — 应用微分求现实世界应用问题的最大值和最小值。
- [相关变化率](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-hl-u4-related-rates/) — 解决涉及不同量随时间变化的相互关联变化率问题。
- [原函数与不定积分](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-hl-u4-antiderivatives-and-indefinite-integration/) — 介绍原函数和不定积分的基本法则。
- [定积分与曲线下面积](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-hl-u4-definite-integrals-and-area-under/) — 将定积分与曲线下面积联系起来，应用微积分基本定理。
- [换元积分法](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-hl-u4-integration-techniques-substitution-and-by/) — 学习换元法，对更复杂的非标准函数进行积分。
- [曲线间面积、旋转体体积](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-hl-u4-area-between-curves-volumes-of/) — 应用积分计算曲线间面积和旋转体的体积。
- [一阶微分方程：欧拉法](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-hl-u4-first-order-differential-equations-euler/) — 使用数值欧拉法近似求解微分方程。
- [微分方程的变量分离法](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-hl-u4-separation-of-variables-for-differential/) — 学习解析变量分离法求解一阶微分方程。
- [增长、衰减和逻辑模型的微分方程](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-hl-u4-differential-equations-for-growth-decay/) — 应用微分方程对现实世界的人口增长、衰减和有限逻辑增长建模。

## 常见错误

- **错误做法:** 求解不定积分和微分方程通解时忘记积分常数
  - 原因: 这是常见的考试错误，会让你丢失本应轻松拿到的方法分和准确度分
  - 正确做法: 每次计算不定积分结果都要加上+C，微分方程通解中也要保留常数
- **错误做法:** 对复合函数求导时混淆乘积法则和链式法则
  - 原因: 会导致问题后续所有步骤的导数计算都出错
  - 正确做法: 确认你是在处理两个独立函数相乘（用乘积法则）还是一个函数嵌入另一个函数的复合（用链式法则）
- **错误做法:** 建立旋转体体积积分时忘记对函数平方
  - 原因: 即使积分计算正确，错误的积分设定也会导致最终体积结果错误
  - 正确做法: 记住 $V = \\pi \\int_a^b [f(x)]^2 dx$，积分前一定要对半径函数平方

## 速查表

| 概念 | 核心公式/法则 |
| --- | --- |
| 链式法则 | $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ |
| 微积分基本定理 | $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$ 其中 $F'(x)=f(x)$ |
| 旋转体体积（绕x轴） | $V = \pi \int_a^b [y]^2 dx$ |
| 二阶导数测试 | 若 $f'(c)=0$：$f''(c) > 0$ = 极小值，$f''(c) < 0$ = 极大值 |
| 变量分离法 | $\int \frac{1}{f(y)} dy = \int g(x) dx$ 适用于 $\frac{dy}{dx} = f(y)g(x)$ |
| 逻辑微分方程模型 | $\frac{dP}{dt} = rP\left(1-\frac{P}{K}\right)$ 其中 $r$ = 增长率，$K$ = 环境容纳量 |

## 下一步

你可以从第一个子主题开始学习本单元，它从极限出发构建了导数的概念基础，是后续所有微积分主题的基础。完成本单元所有子主题后，你可以进入IB AI HL下一个核心单元，专注于统计与概率。

- [第五单元：统计与概率](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u5-overview/)
- [求导法则：幂法则、乘积法则、商法则、链式法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-differentiation-rules-power-product-quotient/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-overview/