最优化问题

IB 数学应用与解释 HL· 40 分钟阅读

1. 建立最优化问题的模型★★☆☆☆HL 专属⏱ 15 min

✓ 计算器

任何最优化问题的第一步也是最关键的一步，是将文字描述转化为数学函数。你需要明确识别出需要最大化或最小化的量，以及题目给出的约束条件。

📘 定义

目标函数

最优化问题中，我们需要求其最大值或最小值的函数

例:

在求矩形最大面积的问题中，面积函数就是目标函数。

大多数问题都会存在一个联系两个或多个变量的约束条件。你需要利用约束条件将目标函数改写为单变量函数，然后根据问题的物理约束定义其定义域（例如，边长不能为负）。

📐 例题

要制作一个无盖盒子，从一块边长为20 cm的正方形纸板的每个角剪去边长为 $x$ 的全等正方形。请写出盒子体积的目标函数，并说明其定义域。

1
从每个角剪去边长为 $x$ 的正方形后，折叠后盒子底面的边长为：
2
$20 - 2x$
3
盒子的高度等于 $x$ ，因此体积 $V (x)$ （我们需要最大化的目标函数）为：
4
$V(x) = x(20 - 2x)^2$
5
由于边长不能为负， $x > 0$ 且 $20 - 2 x > 0$ ，因此定义域为：
6
$0 < x < 10$

2. 求极值并分类★★★☆☆HL 专属⏱ 20 min

✓ 计算器

得到单变量目标函数后，下一步是求它的临界点，然后检验哪个临界点给出了所需的最大值或最小值。标准步骤如下：

对目标函数 $f (x)$ 求导得到 $f^{'} (x)$
令 $f^{'} (x) = 0$ ，解方程得到 $x$ ，即临界点
舍去所有不在 $x$ 定义域内的临界点
检验所有剩余临界点和端点，找到全局极值

📐 例题

求上一个例子中使无盖盒子体积最大的 $x$ 值，并求出最大体积。

1
我们已知 $V (x) = x (20 - 2 x)^{2}$ ，定义域 $0 < x < 10$ 。展开后求导：
2
$V(x) = 4x^3 - 80x^2 + 400x$
3
对 $V (x)$ 求导：
4
$V'(x) = 12x^2 - 160x + 400$
5
令 $V^{'} (x) = 0$ ，化简二次方程：
6
$12x^2 - 160x + 400 = 0 \implies 3x^2 - 40x + 100 = 0$
7
求解得到 $x = 10$ 和 $x = \frac{10}{3} \approx 3.33$ 。 $x = 10$ 是端点，且 $V = 0$ ，因此舍去。
8
使用二阶导数检验验证 $x = \frac{10}{3}$ 是极大值点：
9
$V''(x) = 24x - 160, \quad V''\left(\frac{10}{3}\right) = -80 < 0$
10
计算最大体积：
11
$V\left(\frac{10}{3}\right) = \frac{16000}{27} \approx 592.6 \text{ cm}^3$

3. 多变量约束最优化★★★☆☆HL 专属⏱ 15 min

✓ 计算器

许多常见的最优化问题都涉及几何或成本约束，你需要从目标函数中消去一个变量。消元后，无论问题背景是什么，核心求解过程都是相同的。

📐 例题

一块矩形花园靠着房屋建，房屋作为第四边，只需要给另外三边围围栏。现有总长度100 m的围栏，求使花园面积最大的尺寸。

1
设平行于房屋的边长为 $y$ ，垂直于房屋的边长为 $x$ ，我们需要最大化面积 $A = x y$ 。
2
总围栏的约束条件为： $2 x + y = 100$ ，整理得 $y = 100 - 2 x$ 。
3
将 $y$ 代入面积目标函数，得到仅含 $x$ 的函数：
4
$A(x) = x(100 - 2x) = 100x - 2x^2$
5
定义域是 $0 < x < 50$ 。求导并令导数为零：
6
$A'(x) = 100 - 4x = 0 \implies x = 25$
7
计算得 $y = 100 - 2 (25) = 50$ ，最大面积为：
8
$A = 25 \times 50 = 1250 \text{ m}^2$

✓ 快速检测

检验你对核心概念的理解

在上述花园问题中，目标函数是什么？
- $2 x + y = 100$
- $A = x y$
- $x = 25$
显示答案
1 —
回答正确！面积是我们需要最大化的量，因此它是目标函数。 $2 x + y = 100$ 是约束条件， $x = 25$ 是最优解。

4. 常见陷阱

错误做法:

忘记检查定义域端点来寻找全局极值

原因:

许多学生只检查临界点，但最大值/最小值可以出现在端点，即使端点不是临界点

正确做法:

总是计算目标函数在定义域内所有临界点和端点的值，以此寻找全局极值

错误做法:

将约束代入目标函数时出现代数错误

原因:

即使求导和找极值的步骤正确，错误的目标函数也会导致错误结果

正确做法:

通过验证最终解满足原约束条件，来双重检查你的代入过程

错误做法:

保留位于问题定义域之外的临界点

原因:

即使从数学上看是临界点，负长度或其他不可能的取值也不是有效解

正确做法:

总是先写出目标函数的定义域，去掉所有不在定义域内的临界点

错误做法:

当题目要求求最大/最小量时，只给出最优 $x$ 作为答案

原因:

找到最优输入值后，许多学生在计算出要求的输出值前就停止了

正确做法:

最后总是重新读题，确认题目要求你给出什么值，然后计算出最终结果

5. 速查表

步骤	操作	注意要点
1	确定需要优化的量	这就是你的目标函数
2	确定问题的约束条件	利用约束消去一个变量
3	写出变量的定义域	去掉不可能（负）的值
4	找到所有临界点	Set $f^{'} (x) = 0$ , discard out of domain
5	找到全局极值	Test all critical points + endpoints
6	回答原问题	Calculate the value the question asks for

6. 常见问题

求解最优化问题时我是否总是需要检查区间端点？

是的，对于闭有界区间，全局最大值或最小值可能出现在端点，即使端点处导数不为零，因此你必须始终检验这些端点的函数值。

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2021 · 1
求无盖纸箱的最大体积
2023 · 2
求围栏的最小建造成本

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下一步

最优化问题是微积分核心应用考点，经常出现在IB AI HL考试的卷1和卷2中。你在这里学到的将现实场景转化为可求解数学模型的技能，可以迁移到课程中几乎所有其他应用主题，也对你未来STEM、经济学和数据科学方向的大学学习有帮助。掌握这里讲解的单变量最优化后，你可以将知识拓展到微积分和定量建模的更高级主题。