# 最优化问题

> IB 数学应用与解释 HL · IB AI HL 微积分
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-optimization-problems/

本小节讲解如何使用求导法求解现实世界的最优化问题，这类问题需要在给定约束下，求面积、体积、成本等物理量的最大值或最小值。我们会讲解问题建模、求解和验证的完整过程。

**先修:** [多项式函数与有理函数的求导](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-differentiation-basics/); [求临界点与极值](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-critical-points-extrema/)

## 学习目标

- 根据实际场景建立现实世界最优化问题的数学模型
- 使用求导法求目标函数的临界点
- 区分约束问题中的局部极值和全局极值
- 根据原问题的约束条件验证解的有效性

## 建立最优化问题的模型

任何最优化问题的第一步也是最关键的一步，是将文字描述转化为数学函数。你需要明确识别出需要最大化或最小化的量，以及题目给出的约束条件。

**目标函数** — 最优化问题中，我们需要求其最大值或最小值的函数

*例:* 在求矩形最大面积的问题中，面积函数就是目标函数。

大多数问题都会存在一个联系两个或多个变量的约束条件。你需要利用约束条件将目标函数改写为单变量函数，然后根据问题的物理约束定义其定义域（例如，边长不能为负）。

**例题:** 要制作一个无盖盒子，从一块边长为20 cm的正方形纸板的每个角剪去边长为$x$的全等正方形。请写出盒子体积的目标函数，并说明其定义域。

1. 从每个角剪去边长为$x$的正方形后，折叠后盒子底面的边长为：
2. $$20 - 2x$$
3. 盒子的高度等于$x$，因此体积$V(x)$（我们需要最大化的目标函数）为：
4. $$V(x) = x(20 - 2x)^2$$
5. 由于边长不能为负，$x > 0$且$20 - 2x > 0$，因此定义域为：
6. $$0 < x < 10$$

*计算器:* allowed

## 求极值并分类

得到单变量目标函数后，下一步是求它的临界点，然后检验哪个临界点给出了所需的最大值或最小值。标准步骤如下：

1. 对目标函数$f(x)$求导得到$f'(x)$
2. 令$f'(x) = 0$，解方程得到$x$，即临界点
3. 舍去所有不在$x$定义域内的临界点
4. 检验所有剩余临界点和端点，找到全局极值

> **tip**
>
> 在IB AI HL考试中，你建立函数后可以直接使用图形计算器（GDC）求极值，相比手工求解能节省大量时间。

**例题:** 求上一个例子中使无盖盒子体积最大的$x$值，并求出最大体积。

1. 我们已知$V(x) = x(20 - 2x)^2$，定义域$0 < x < 10$。展开后求导：
2. $$V(x) = 4x^3 - 80x^2 + 400x$$
3. 对$V(x)$求导：
4. $$V'(x) = 12x^2 - 160x + 400$$
5. 令$V'(x) = 0$，化简二次方程：
6. $$12x^2 - 160x + 400 = 0 \implies 3x^2 - 40x + 100 = 0$$
7. 求解得到$x = 10$和$x = \frac{10}{3} \approx 3.33$。$x=10$是端点，且$V=0$，因此舍去。
8. 使用二阶导数检验验证$x = \frac{10}{3}$是极大值点：
9. $$V''(x) = 24x - 160, \quad V''\left(\frac{10}{3}\right) = -80 < 0$$
10. 计算最大体积：
11. $$V\left(\frac{10}{3}\right) = \frac{16000}{27} \approx 592.6 \text{ cm}^3$$

*计算器:* allowed

## 多变量约束最优化

许多常见的最优化问题都涉及几何或成本约束，你需要从目标函数中消去一个变量。消元后，无论问题背景是什么，核心求解过程都是相同的。

**例题:** 一块矩形花园靠着房屋建，房屋作为第四边，只需要给另外三边围围栏。现有总长度100 m的围栏，求使花园面积最大的尺寸。

1. 设平行于房屋的边长为$y$，垂直于房屋的边长为$x$，我们需要最大化面积$A = xy$。
2. 总围栏的约束条件为：$2x + y = 100$，整理得$y = 100 - 2x$。
3. 将$y$代入面积目标函数，得到仅含$x$的函数：
4. $$A(x) = x(100 - 2x) = 100x - 2x^2$$
5. 定义域是$0 < x < 50$。求导并令导数为零：
6. $$A'(x) = 100 - 4x = 0 \implies x = 25$$
7. 计算得$y = 100 - 2(25) = 50$，最大面积为：
8. $$A = 25 \times 50 = 1250 \text{ m}^2$$

**概念自测**

检验你对核心概念的理解

1. 在上述花园问题中，目标函数是什么？

   - $2x + y = 100$
   - $A = xy$
   - $x = 25$

   *答案:* $A = xy$

   *解析:* 回答正确！面积是我们需要最大化的量，因此它是目标函数。$2x + y = 100$是约束条件，$x=25$是最优解。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 忘记检查定义域端点来寻找全局极值
  - 原因: 许多学生只检查临界点，但最大值/最小值可以出现在端点，即使端点不是临界点
  - 正确做法: 总是计算目标函数在定义域内所有临界点和端点的值，以此寻找全局极值
- **错误做法:** 将约束代入目标函数时出现代数错误
  - 原因: 即使求导和找极值的步骤正确，错误的目标函数也会导致错误结果
  - 正确做法: 通过验证最终解满足原约束条件，来双重检查你的代入过程
- **错误做法:** 保留位于问题定义域之外的临界点
  - 原因: 即使从数学上看是临界点，负长度或其他不可能的取值也不是有效解
  - 正确做法: 总是先写出目标函数的定义域，去掉所有不在定义域内的临界点
- **错误做法:** 当题目要求求最大/最小量时，只给出最优$x$作为答案
  - 原因: 找到最优输入值后，许多学生在计算出要求的输出值前就停止了
  - 正确做法: 最后总是重新读题，确认题目要求你给出什么值，然后计算出最终结果

## 速查表

| 步骤 | 操作 | 注意要点 |
| --- | --- | --- |
| 1 | 确定需要优化的量 | 这就是你的目标函数 |
| 2 | 确定问题的约束条件 | 利用约束消去一个变量 |
| 3 | 写出变量的定义域 | 去掉不可能（负）的值 |
| 4 | 找到所有临界点 | Set $f'(x)=0$, discard out of domain |
| 5 | 找到全局极值 | Test all critical points + endpoints |
| 6 | 回答原问题 | Calculate the value the question asks for |

## 下一步

最优化问题是微积分核心应用考点，经常出现在IB AI HL考试的卷1和卷2中。你在这里学到的将现实场景转化为可求解数学模型的技能，可以迁移到课程中几乎所有其他应用主题，也对你未来STEM、经济学和数据科学方向的大学学习有帮助。掌握这里讲解的单变量最优化后，你可以将知识拓展到微积分和定量建模的更高级主题。

- [相关变化率](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-related-rates/)
- [原函数与不定积分](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-antiderivatives-and-indefinite-integration/)
- [定积分与曲线下面积](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-definite-integrals-and-area-under/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-optimization-problems/