计算$f(x)$的一阶导数：

当$x\in (-\infty ,-1)$时：$(x-1)$和$(x+1)$均为负数，因此它们的乘积为正，故$f^{\prime }(x)>0$。

当$x\in (-1,1)$时：$(x-1)$为负，$(x+1)$为正，因此乘积为负，故$f^{\prime }(x)<0$。

当$x\in (1,\infty )$时：两个因子均为正，乘积为正，故$f^{\prime }(x)>0$。

根据一阶导数判别准则，原命题得证。

首先计算$f^{\prime }(x)$，求解得到驻点：

令$f^{\prime }(x)=0$，得到驻点在$x=1$和$x=3$处。

接下来计算二阶导数：

代入$x=1$计算：$f^{\prime \prime }(1)=6(1)-12=-6<0$。二阶导数为负说明$x=1$是局部极大值点。计算$y$坐标：$f(1)=5$，因此局部极大值点为$(1,5)$。

代入$x=3$计算：$f^{\prime \prime }(3)=6(3)-12=6>0$。二阶导数为正说明$x=3$是局部极小值点。计算$y$坐标：$f(3)=1$，因此局部极小值点为$(3,1)$。

对于$f(x)=x^4$：$f^{\prime }(x)=4x^3$，因此$f^{\prime }(0)=0$，说明$x=0$是驻点。$f^{\prime \prime }(x)=12x^2$，因此$f^{\prime \prime }(0)=0$，故二阶导数判别法无法确定结果。

检验$0$两侧$f^{\prime }(x)$的符号：当$x<0$时，$f^{\prime }(x)<0$；当$x>0$时，$f^{\prime }(x)>0$。$f^{\prime }(x)$由负变正，因此$x=0$是局部极小值点。

对于$f(x)=x^3$：$f^{\prime }(x)=3x^2$，因此$f^{\prime }(0)=0$，是驻点。$f^{\prime \prime }(x)=6x$，因此$f^{\prime \prime }(0)=0$，判别法无法确定结果。

检验$0$两侧$f^{\prime }(x)$的符号：无论$x<0$还是$x>0$都有$f^{\prime }(x)>0$，符号没有改变，因此$x=0$是驻点型拐点，不是极大值点也不是极小值点。