# 单调函数、二阶导数判别法

> IB 数学 AI HL · IB 数学 AI HL
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-monotonic-functions-second-derivative-test/

本子主题介绍了如何使用一阶导数识别单调（递增/递减）函数，以及如何在IB考试中应用二阶导数判别法将驻点分类为局部极大值点、局部极小值点或不确定情况。

**先修:** [基本求导法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u3-basic-differentiation-rules/); [驻点入门](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-stationary-points/)

## 学习目标

- 利用一阶导数识别单调递增/递减函数
- 使用二阶导数判别法分类驻点
- 识别二阶导数判别法无法确定的情况
- 应用该判别法解决IB考试中的分类问题

## 单调函数与一阶导数判别准则

**单调函数** — 如果一个函数在某个区间上整体单调不增或整体单调不减，则该函数在这个区间上是单调的。严格单调函数在整个区间上严格递增或严格递减。

*例:* $f(x) = x^3$ 在全体实数上严格单调

要判断函数在区间上是递增还是递减，我们利用一阶导数的符号。判别规则为：若区间内所有$x$都满足 $f'(x) > 0$，则$f$严格递增；若区间内所有$x$都满足 $f'(x) < 0$，则$f$严格递减。若一阶导数符号不发生改变，单独的$f'(x)=0$孤立点不影响单调性。

**例题:** 证明$f(x) = 4x^3 - 12x + 5$在$(-\infty, -1) \cup (1, \infty)$上严格递增，在$(-1, 1)$上严格递减。

1. 计算$f(x)$的一阶导数：
2. $$f'(x) = 12x^2 - 12 = 12(x^2 - 1) = 12(x-1)(x+1)$$
3. 当$x \in (-\infty, -1)$时：$(x-1)$和$(x+1)$均为负数，因此它们的乘积为正，故$f'(x) > 0$。
4. 当$x \in (-1, 1)$时：$(x-1)$为负，$(x+1)$为正，因此乘积为负，故$f'(x) < 0$。
5. 当$x \in (1, \infty)$时：两个因子均为正，乘积为正，故$f'(x) > 0$。
6. 根据一阶导数判别准则，原命题得证。

> **考试提示:** 一定要检验临界点两侧$f'(x)$的符号来确认单调性，不要只依赖临界点处的导数值。

*计算器:* forbidden

## 驻点的二阶导数判别法

**二阶导数判别法** — 对二阶可导函数，通过计算驻点处二阶导数的符号来对驻点进行分类的方法。

*记法:* 对于满足$f'(a)=0$的驻点$x=a$

分类规则很简单：若$f''(a) < 0$，则该点是局部极大值点；若$f''(a) > 0$，则该点是局部极小值点。当二阶导数容易计算时，该方法比一阶导数判别法更快捷。

**例题:** 找出并分类$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$的所有驻点。

1. 首先计算$f'(x)$，求解得到驻点：
2. $$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3)$$
3. 令$f'(x)=0$，得到驻点在$x=1$和$x=3$处。
4. 接下来计算二阶导数：
5. $$f''(x) = 6x - 12$$
6. 代入$x=1$计算：$f''(1) = 6(1) - 12 = -6 < 0$。二阶导数为负说明$x=1$是局部极大值点。计算$y$坐标：$f(1)=5$，因此局部极大值点为$(1, 5)$。
7. 代入$x=3$计算：$f''(3) = 6(3) - 12 = 6 > 0$。二阶导数为正说明$x=3$是局部极小值点。计算$y$坐标：$f(3)=1$，因此局部极小值点为$(3, 1)$。

**概念自测**

检验你对符号规则的理解：

1. 若$f'(2) = 0$且$f''(2) = -4$，那么$x=2$处的驻点如何分类？

   - 局部极大值点
   - 局部极小值点
   - 拐点
   - 无法确定

   *解析:* 回答正确！驻点处二阶导数为负说明函数是凹向下（向下弯曲），因此该点是局部极大值点。

> **考试提示:** IB考试题目几乎总会要求给出驻点的完整坐标，找到$x$后不要忘记计算$y$值。

*计算器:* allowed

## 局限性与无法确定的情况

二阶导数判别法仅当二阶导数存在且在驻点处不为零时有效。若驻点$x=a$处满足$f''(a) = 0$，则该判别法无法确定结果，你必须使用一阶导数判别法（检验该点周围$f'(x)$的符号变化）来分类。

> **常见误区**
>
> $f''(a) = 0$ 并不意味着该点一定是拐点。拐点要求$x=a$两侧$f''(x)$的符号发生改变（凹凸性改变），仅在该点处值为零是不够的。

**例题:** 对$f(x) = x^4$和$f(x) = x^3$在$x=0$处的驻点进行分类。

1. 对于$f(x) = x^4$：$f'(x) = 4x^3$，因此$f'(0) = 0$，说明$x=0$是驻点。$f''(x) = 12x^2$，因此$f''(0) = 0$，故二阶导数判别法无法确定结果。
2. 检验$0$两侧$f'(x)$的符号：当$x<0$时，$f'(x) < 0$；当$x>0$时，$f'(x) > 0$。$f'(x)$由负变正，因此$x=0$是局部极小值点。
3. 对于$f(x) = x^3$：$f'(x) = 3x^2$，因此$f'(0) = 0$，是驻点。$f''(x) = 6x$，因此$f''(0) = 0$，判别法无法确定结果。
4. 检验$0$两侧$f'(x)$的符号：无论$x<0$还是$x>0$都有$f'(x) > 0$，符号没有改变，因此$x=0$是驻点型拐点，不是极大值点也不是极小值点。

*计算器:* forbidden

## 常见错误

- **错误做法:** 默认$f''(x)=0$处的驻点一定是拐点
  - 原因: $f''(x)=0$单独并不充分，还需要凹凸性发生改变（即$f''(x)$符号改变）
  - 正确做法: 当$f''(x)=0$时，检验该点周围$f'(x)$的符号来对驻点分类
- **错误做法:** 分类驻点后忘记计算$y$坐标
  - 原因: IB考试题目要求完整坐标才能得满分，大多数学生在这里丢掉了本应拿到的分数
  - 正确做法: 找到$x$坐标后，代回原函数$f(x)$计算得到$y$坐标
- **错误做法:** 混淆符号规则：误认为$f''(x) > 0$对应局部极大值点
  - 原因: 混淆了凹凸方向：正的$f''$代表凹向上（向上弯曲）
  - 正确做法: 记住：负号像皱眉（极大值点），正号像杯子（极小值点）
- **错误做法:** 认为函数在孤立点处$f'(x)=0$就不是单调函数
  - 原因: 如果一阶导数符号不改变，孤立的$f'(x)$零点不影响单调性
  - 正确做法: 检验整个区间上$f'(x)$的符号；如果符号保持非正或非负，函数就是单调的

## 速查表

| 概念 | 条件 | 结论 |
| --- | --- | --- |
| 严格递增 | 区间内$f'(x) > 0$ | 函数单调递增 |
| 严格递减 | 区间内$f'(x) < 0$ | 函数单调递减 |
| 局部极大值点（二阶判别法） | $f'(a)=0, f''(a) < 0$ | $(a, f(a))$是局部极大值点 |
| 局部极小值点（二阶判别法） | $f'(a)=0, f''(a) > 0$ | $(a, f(a))$是局部极小值点 |
| 二阶判别法无法确定 | $f'(a)=0, f''(a)=0$ 或无定义 | 使用一阶导数判别法分类 |
| 拐点 | $f''(x)$在$a$处变号 | $x=a$处凹凸性改变 |

## 下一步

理解单调函数和二阶导数判别法是解决最优化问题的基础，最优化问题是IB数学AI HL考试中最常见的长答题类型之一。这些概念也是绘图的基础，在绘制函数曲线前你需要识别函数的所有关键特征（极大值点、极小值点、拐点）。掌握本子主题能帮助你在大多数微积分题目中拿到满分，而微积分在期末考试中占比很大。

- [最优化问题](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-optimization-problems/)
- [相关变化率](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-related-rates/)
- [原函数与不定积分](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-antiderivatives-and-indefinite-integration/)

---

来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-monotonic-functions-second-derivative-test/