导数的极限定义 IB 数学：应用与解释 HL · 10 分钟阅读
🎯 学习目标
1. 陈述某点处导数和一般导函数的极限定义
2. 从第一原理对简单多项式函数求导
3. 将导数解释为切线斜率和瞬时变化率
4. 使用极限定义识别不可导点
1. 几何背景与正式定义 ★★☆☆☆ ⏱ 15 min
为了求点x = a x = a x = a + h h
某点处的导数 f ′ ( a ) = lim h → 0 f ( a + h ) − f ( a ) h f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} f ′ ( a ) = h → 0 lim h f ( a + h ) − f ( a )
导数f ′ ( a ) x = a y = f ( x ) x = a f ( x )
另一个等价定义是 f ′ ( a ) = lim x → a x − a f ( x ) − f ( a )
1 2 f ( 1 ) = 3 ( 1 ) 2 = 3 f(1) = 3(1)^2 = 3 f ( 1 ) = 3 ( 1 ) 2 = 3 3 4 f ( 1 + h ) = 3 ( 1 + h ) 2 = 3 ( 1 + 2 h + h 2 ) = 3 + 6 h + 3 h 2 f(1+h) = 3(1+h)^2 = 3(1 + 2h + h^2) = 3 + 6h + 3h^2 f ( 1 + h ) = 3 ( 1 + h ) 2 = 3 ( 1 + 2 h + h 2 ) = 3 + 6 h + 3 h 2 5 6 f ( 1 + h ) − f ( 1 ) h = ( 3 + 6 h + 3 h 2 ) − 3 h = 6 h + 3 h 2 h = 6 + 3 h , h ≠ 0 \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \frac{(3 + 6h + 3h^2) - 3}{h} = \frac{6h + 3h^2}{h} = 6 + 3h, \quad h \neq 0 h f ( 1 + h ) − f ( 1 ) = h ( 3 + 6 h + 3 h 2 ) − 3 = h 6 h + 3 h 2 = 6 + 3 h , h = 0 7 8 f ′ ( 1 ) = lim h → 0 ( 6 + 3 h ) = 6 f'(1) = \lim_{h \to 0} (6 + 3h) = 6 f ′ ( 1 ) = h → 0 lim ( 6 + 3 h ) = 6 2. 从第一原理求导 ★★★☆☆ ⏱ 20 min
我们还可以得到一般导函数f ′ ( x ) x x = a
一般导函数 f ′ ( x ) = lim h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} f ′ ( x ) = h → 0 lim h f ( x + h ) − f ( x )
导函数返回极限存在的任意x
1 2 f ( x + h ) = ( x + h ) 2 + 4 ( x + h ) = x 2 + 2 x h + h 2 + 4 x + 4 h f(x+h) = (x+h)^2 + 4(x+h) = x^2 + 2xh + h^2 + 4x + 4h f ( x + h ) = ( x + h ) 2 + 4 ( x + h ) = x 2 + 2 x h + h 2 + 4 x + 4 h 3 4 f ( x + h ) − f ( x ) = ( x 2 + 2 x h + h 2 + 4 x + 4 h ) − ( x 2 + 4 x ) = 2 x h + h 2 + 4 h f(x+h) - f(x) = (x^2 + 2xh + h^2 + 4x + 4h) - (x^2 + 4x) = 2xh + h^2 + 4h f ( x + h ) − f ( x ) = ( x 2 + 2 x h + h 2 + 4 x + 4 h ) − ( x 2 + 4 x ) = 2 x h + h 2 + 4 h 5 6 f ( x + h ) − f ( x ) h = 2 x + h + 4 \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = 2x + h + 4 h f ( x + h ) − f ( x ) = 2 x + h + 4 7 8 f ′ ( x ) = lim h → 0 ( 2 x + h + 4 ) = 2 x + 4 f'(x) = \lim_{h \to 0} (2x + h + 4) = 2x + 4 f ′ ( x ) = h → 0 lim ( 2 x + h + 4 ) = 2 x + 4
检查你对定义结构的理解
h f ( a + h ) − f ( a )
h f ( a + h )
a f ( a + h ) − f ( a )
f ( a + h ) − f ( a )
3. 不可导性与极限定义 ★★★★☆ ⏱ 15 min
只有当差商的双侧极限存在时，某点处的导数才存在。常见的不可导情况包括不连续、角点和垂直切线。
使用极限定义证明f ( x ) = ∣ x − 3∣ x = 3
1 步骤1：将绝对值拆分为分段函数：x > 3 ∣ x − 3∣ = x − 3 x < 3 ∣ x − 3∣ = 3 − x
2 3 lim h → 0 − f ( 3 + h ) − f ( 3 ) h = lim h → 0 − ∣ h ∣ h = lim h → 0 − − h h = − 1 \lim_{h \to 0^-} \frac{f(3+h) - f(3)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{|h|}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = -1 h → 0 − lim h f ( 3 + h ) − f ( 3 ) = h → 0 − lim h ∣ h ∣ = h → 0 − lim h − h = − 1 4 5 lim h → 0 + ∣ h ∣ h = lim h → 0 + h h = 1 \lim_{h \to 0^+} \frac{|h|}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1 h → 0 + lim h ∣ h ∣ = h → 0 + lim h h = 1 6 步骤4：结论：由于左极限 = f ′ ( 3 )
可导要求函数在该点连续，但连续不一定可导。函数可以连续但不可导，比如上述绝对值的例子。
4. 常见陷阱 错误做法:
代入h = 0 h
原因:
差商在h = 0
正确做法:
总是先将h h h = 0
错误做法:
书写导数表达式时省略极限符号。
原因:
导数是差商的极限，而非差商本身。省略极限会完全改变含义。
正确做法:
使用定义计算导数时，任何表达式都必须包含lim h → 0
错误做法:
假设连续函数一定可导。
原因:
连续是可导的必要非充分条件。角点和尖点连续但不可导。
正确做法:
总是验证差商的双侧极限存在，才能确认可导性。
错误做法:
展开( x + h ) n n ≥ 3
原因:
二项式展开错误是第一原理求导中常见的代数错误。
正确做法:
反复检查二项式展开，或使用带因式分解的替代定义化简表达式。
5. 速查表 概念
正式表达式
适用场景
x = a
f ′ ( a ) = lim h → 0 h f ( a + h ) − f ( a )
求单点处的斜率
x = a
f ′ ( a ) = lim x → a x − a f ( x ) − f ( a )
便于多项式因式分解
一般导函数
f ′ ( x ) = lim h → 0 h f ( x + h ) − f ( x )
求所有x
不可导性验证
lim h → 0 − = lim h → 0 +
确认角点/尖点
真题中的出现 AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。
2021 · Paper 1 第一原理导数计算
2023 · Paper 1 验证某点处的不可导性
下一步 导数的极限定义是整个微积分的基础概念。现在你理解了导数的来源，接下来可以学习快捷求导法则，这些法则能让你在考试中快速计算导数。这些建立在极限定义之上的法则会被用于所有微积分应用，包括IB AI HL中的优化、积分和真实世界现象建模。你也会使用定义来理解导数何时不存在，这对函数绘图和解决优化问题非常重要。
