积分技巧：换元法与分部积分法

IB 数学 AI HL· 20 分钟阅读

1. 不定积分与定积分的u换元法★★☆☆☆⏱ 8 min

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📘 定义

u换元法

逆转链式法则的技巧，通过改变积分变量简化被积函数，从而对复合函数进行积分。

例:

$\int 2 x cos (x^{2}) d x$

应用u换元法时，选择 $u$ 为复合项的内层函数。 $u$ 的导数应能消去原被积函数中的一项。对于定积分，你必须调整积分限以匹配新变量 $u$ 。

📐 例题

计算 $\int_{1}^{2} 2 x e^{x^{2}} d x$

1
选择内层函数作为 $u$ ：
2
$u = x^2$
3
对 $u$ 求导得到 $d u$ ：
4
$\frac{du}{dx} = 2x \implies du = 2x dx$
5
为新变量 $u$ 调整积分限：
6
当 $x = 1$ 时， $u = 1^{2} = 1$ ；当 $x = 2$ 时， $u = 2^{2} = 4$
7
代入原积分：
8
$\int_{1}^{4} e^u du$
9
积分并计算结果：
10
$[e^u]_1^4 = e^4 - e = e(e^3 - 1) \approx 51.93$

Exam tip:

始终通过对原函数求导来验证结果，确认其与原被积函数一致。

2. 分部积分法★★★☆☆⏱ 10 min

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🔬 推导

目标:

从求导的乘积法则推导出分部积分公式

起点:

乘积法则： $\frac{d}{d x} (uv) = u \frac{d v}{d x} + v \frac{d u}{d x}$

1
对乘积法则两边关于 $x$ 积分：
2
$\int \frac{d}{dx}(uv) dx = \int u \frac{dv}{dx} dx + \int v \frac{du}{dx} dx$
3
化简左侧并整理项：
4
$uv = \int u dv + \int v du$
5
$\int u dv = uv - \int v du$

结果:

这就是标准的分部积分公式，用于对两个不同类型函数的乘积进行积分。

📐 例题

求不定积分 $\int x ln x d x$

1
应用LIATE法则： $ln x$ （对数函数）排在 $x$ （代数函数）之前，因此：
2
$u = \ln x, \quad dv = x dx$
3
计算 $d u$ 和 $v$ ：
4
$du = \frac{1}{x} dx, \quad v = \int x dx = \frac{x^2}{2}$
5
代入分部积分公式：
6
$\int x \ln x dx = uv - \int v du = \frac{x^2 \ln x}{2} - \int \left(\frac{x^2}{2}\right)\left(\frac{1}{x}\right) dx$
7
化简并积分剩余项：
8
$\frac{x^2 \ln x}{2} - \int \frac{x}{2} dx = \frac{x^2 \ln x}{2} - \frac{x^2}{4} + C$

3. 技巧的选择与组合★★★☆☆⏱ 7 min

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方法对比

下表总结了每种积分技巧的适用场景：

u换元法

当被积函数包含复合函数，或一个函数乘以其自身导数时使用

+ 优点: 速度快，可将复杂积分简化为基本原函数

− 缺点: 仅适用于特定结构的被积函数

分部积分法

当被积函数是两种不同类型函数的乘积时使用（例如代数×三角函数）

+ 优点: 适用于多种乘积类型，包括$x^n e^x$和$\ln x$

− 缺点: 可能需要多次应用，容易出现符号错误

✓ 快速检测

为 $\int x e^{x^{2}} d x$ 选择最优技巧

哪种方法能最高效地得到正确解？
- 分部积分法，取 $u = x, d v = e^{x^{2}} d x$
- u换元法，取 $u = x^{2}$
- u换元法，取 $u = x$
- 分部积分法，取 $u = e^{x^{2}}, d v = x d x$
显示答案
1 —
正确！ $u = x^{2}$ 的导数是 $2 x$ ，可以消去原有的 $x$ 项，得到 $e^{u}$ 的简单积分。其他方法会得到 $e^{x^{2}}$ 的不可初等积分，无法求解。

📐 例题

计算 $\int 2 x cos (x) d x$

1
识别出这是代数函数和三角函数的乘积，因此使用分部积分法：
2
$u = 2x, \quad dv = \cos x dx$
3
求出 $d u$ 和 $v$ ：
4
$du = 2 dx, \quad v = \sin x$
5
应用分部积分法：
6
$2x \sin x - \int 2 \sin x dx$
7
对剩余项积分得到最终结果：
8
$2x \sin x + 2 \cos x + C$

4. 常见陷阱

错误做法:

对定积分做u换元时忘记调整积分限

原因:

你最终会用原限计算错误的表达式，得到错误结果

正确做法:

定义 $u$ 后立即计算 $u$ 的新上下限，全程用 $u$ 计算积分

错误做法:

分部积分法中选择了错误的 $u$

原因:

这会导致剩余积分更复杂，无法用初等方法求解

正确做法:

始终用LIATE法则从乘积项中选择 $u$

错误做法:

弄错分部积分公式中的负号

原因:

负号加上 $sin x$ 这类项的积分经常会导致符号错误

正确做法:

每次使用公式时都明确写出完整公式，逐步代入各项

错误做法:

不定积分中省略积分常数 $C$

原因:

原函数是一族函数，省略 $C$ 会在考试中失分

正确做法:

任何不定积分的最终结果都要加上 $+ C$

5. 速查表

技巧	核心法则/公式	适用场景
u换元法	$\int f (g (x)) g^{'} (x) d x = \int f (u) d u$ , $u = g (x)$	复合函数，函数×导数
分部积分法	$\int u d v = uv - \int v d u$	两个不同类型函数的乘积
u的LIATE法则	对数 > 反三角 > 代数 > 三角 > 指数	选择 $u$ 以简化积分
定积分u换元	更换u的积分限，直接计算	无需回代为x

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2021 · 2
8分混合技巧积分题
2022 · 1
6分u换元法定积分题
2023 · 2
7分部积分法题

下一步

掌握换元法和分部积分法是IB AI HL后续所有积分主题的基础，包括有理函数的部分分式积分和反常积分。这些技巧也是积分核心应用的基础：计算曲线间面积、旋转体体积、求解可分离微分方程，这些内容都占考试分数的很大比例。针对给定积分多加练习识别合适技巧，是备考考察这些技能的考题的最佳方法。