# 换元积分法

> IB 数学 AI HL · 微积分
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-integration-techniques-substitution-and-by/

本模块讲解u换元法——IB AI HL中用于对复合函数积分的核心积分技巧。你将学习将其应用于不定积分和定积分，包括如何为定积分调整积分限。

**先修:** [常用函数的基本原函数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u3-basic-antiderivatives/); [求导的链式法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u3-differentiation-rules/)

## 学习目标

- 识别何时适合使用u换元法
- 运用u换元法计算复合函数的不定积分
- 对定积分使用u换元法时正确调整积分限
- 避免变量选择和积分限调整中的常见错误

## 不定积分与定积分的u换元法

**u换元法** — 逆转链式法则的技巧，通过改变积分变量简化被积函数，从而对复合函数进行积分。

*例:* $\int 2x \cos(x^2) dx$

应用u换元法时，选择$u$为复合项的内层函数。$u$的导数应能消去原被积函数中的一项。对于定积分，你必须调整积分限以匹配新变量$u$。

**例题:** 计算$\int_1^2 2x e^{x^2} dx$

1. 选择内层函数作为$u$：
2. $$u = x^2$$
3. 对$u$求导得到$du$：
4. $$\frac{du}{dx} = 2x \implies du = 2x dx$$
5. 为新变量$u$调整积分限：
6. 当$x=1$时，$u=1^2=1$；当$x=2$时，$u=2^2=4$
7. 代入原积分：
8. $$\int_{1}^{4} e^u du$$
9. 积分并计算结果：
10. $$[e^u]_1^4 = e^4 - e = e(e^3 - 1) \approx 51.93$$

> **考试提示:** 始终通过对原函数求导来验证结果，确认其与原被积函数一致。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 对定积分做u换元时忘记调整积分限
  - 原因: 你最终会用原限计算错误的表达式，得到错误结果
  - 正确做法: 定义$u$后立即计算$u$的新上下限，全程用$u$计算积分
- **错误做法:** 不定积分中省略积分常数$C$
  - 原因: 原函数是一族函数，省略$C$会在考试中失分
  - 正确做法: 任何不定积分的最终结果都要加上$+C$

## 速查表

| 技巧 | 核心法则/公式 | 适用场景 |
| --- | --- | --- |
| u换元法 | $\int f(g(x))g'(x)dx = \int f(u)du$, $u=g(x)$ | 复合函数，函数×导数 |
| 定积分u换元 | 更换u的积分限，直接计算 | 无需回代为x |

## 下一步

掌握u换元法是IB AI HL积分应用的基础。这些技能是计算曲线间面积、旋转体体积以及求解可分离微分方程所必需的，这些内容都占考试分数的很大比例。多加练习识别何时可以用换元法简化被积函数，是备考这些考题的最佳方法。

- [曲线间面积、旋转体体积](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-area-between-curves-volumes-of/)
- [一阶微分方程：欧拉法](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-first-order-differential-equations-euler/)
- [微分方程的分离变量法](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-separation-of-variables-for-differential/)

---

来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-integration-techniques-substitution-and-by/