# 一阶微分方程：欧拉法

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本模块介绍欧拉法，这是一种对无法用解析方法求解的一阶微分方程进行近似求解的数值技术。你将学习迭代公式，掌握多步应用方法，并分析近似的准确性与误差。

**先修:** [一阶微分方程简介](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-first-order-differential-equations-introduction/)

## 学习目标

- 解释为什么无法解析求解的一阶微分方程需要使用数值方法
- 运用欧拉法，在给定步长下近似求解
- 分析步长与近似误差之间的关系
- 预测欧拉法得到的结果是高估还是低估了真实解

## 1. 欧拉法的核心思想与公式

许多实际问题中的一阶微分方程没有可用初等函数表示的闭式解。欧拉法从已知初始条件出发，依靠每一步的切线近似来构建近似解曲线。

**欧拉迭代公式** — 每次迭代中，我们利用当前已知点处切线的斜率估计下一个$x$位置对应的$y$值；$h$是$x_n$到$x_{n+1}$之间的固定步长。

*记法:* $y_{n+1} = y_n + h \cdot \frac{dy}{dx}\bigg|_{(x_n, y_n)}$

**例题:** 已知$\frac{dy}{dx} = x + y$，初始条件为$y(0) = 1$，使用步长$h=0.5$的两步欧拉法近似求$y(1)$。

1. 确定初始值：$x_0 = 0$, $y_0 = 1$, $h = 0.5$。计算$(x_0, y_0)$处的导数：
2. $$\frac{dy}{dx}\bigg|_{(0,1)} = 0 + 1 = 1$$
3. 计算第一次更新后的值：
4. $$x_1 = x_0 + h = 0 + 0.5 = 0.5 \\ y_1 = y_0 + h \cdot \frac{dy}{dx}\bigg|_{(x_0,y_0)} = 1 + (0.5)(1) = 1.5$$
5. 计算新点$(x_1, y_1)$处的导数：
6. $$\frac{dy}{dx}\bigg|_{(0.5,1.5)} = 0.5 + 1.5 = 2$$
7. 计算$x=1$处的最终近似值：
8. $$x_2 = 0.5 + 0.5 = 1 \\ y_2 = 1.5 + (0.5)(2) = 2.5$$
9. 最终近似值：$y(1) \approx 2.5$

*计算器:* allowed

## 2. 欧拉法的多步应用

无论步数多少，欧拉法都遵循相同的迭代规律。IB考试几乎都使用等步长，不过该方法也可根据需要适配变步长。步长越小，近似精度越高，但需要的计算量也越大。

> **tip**
>
> 中间结果$y_n$始终多保留1-2位小数，避免多步累积舍入误差。仅将最终答案按要求精度四舍五入。

**例题:** 已知$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$，初始条件$y(1) = 2$，使用步长$h=0.25$近似求$y(2)$。

1. 初始值：$x_0 = 1$, $y_0 = 2$。计算初始导数：
2. $$\frac{dy}{dx}\bigg|_{(1, 2)} = \frac{2}{1} = 2$$
3. 共迭代4步到达$x=2$：
4. $$n=1: x_1 = 1.25, \quad y_1 = 2 + (0.25)(2) = 2.5, \quad \frac{dy}{dx} = \frac{2.5}{1.25} = 2 \\ n=2: x_2 = 1.5, \quad y_2 = 2.5 + (0.25)(2) = 3, \quad \frac{dy}{dx} = \frac{3}{1.5} = 2 \\ n=3: x_3 = 1.75, \quad y_3 = 3 + (0.25)(2) = 3.5, \quad \frac{dy}{dx} = \frac{3.5}{1.75} = 2 \\ n=4: x_4 = 2, \quad y_4 = 3.5 + (0.25)(2) = 4$$
5. 对于这个微分方程，精确解为$y=2x$，因此此处的近似结果是精确的。

*计算器:* allowed

## 3. 欧拉法的误差分析

欧拉法的所有近似都存在一定误差，因为每一步的切线会偏离真实的曲线解。误差的方向和大小遵循可预测的规律，这是考试的常考内容。

**全局截断误差** — 近似过程中所有步骤累积的总误差。对于欧拉法，全局误差与步长$h$成正比：步长减半，总误差大致也减半。

> **info**
>
> 误差方向规律：如果解曲线是凹向上的（$\frac{d^2y}{dx^2} > 0$），切线位于曲线下方，因此欧拉法会得到低估结果。如果是凹向下的（$\frac{d^2y}{dx^2} < 0$），切线位于曲线上方，因此会得到高估结果。

**例题:** 对于$\frac{dy}{dx} = y^2$，$y(0) = 1$，精确解为$y = \frac{1}{1-x}$。比较$h=0.3$和$h=0.1$近似$y(0.3)$时的误差。

1. 情况1：$h=0.3$（1步）：
2. $$y_1 = 1 + 0.3(1^2) = 1.3 \\ \text{Exact } y(0.3) = \frac{1}{1-0.3} \approx 1.4286 \\ \text{Error} = |1.4286 - 1.3| = 0.1286$$
3. 情况2：$h=0.1$（3步）：
4. $$n=0: x_0=0, y_0=1, \frac{dy}{dx}=1, y_1 = 1.1, x_1=0.1 \\ n=1: \frac{dy}{dx} = 1.1^2=1.21, y_2=1.1 + 0.1(1.21)=1.221, x_2=0.2 \\ n=2: \frac{dy}{dx} = 1.221^2 \approx 1.4908, y_3=1.221 + 0.1(1.4908) \approx 1.3701$$
5. 计算$h=0.1$时的误差：
6. $$\text{Error} = |1.4286 - 1.3701| \approx 0.0585$$
7. $h=0.1$的误差约为$h=0.3$误差的一半，符合误差的比例关系。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 将中间值$y_n$四舍五入到与最终答案相同的精度
  - 原因: 舍入误差会在多步中累积，导致最终结果超出可接受的误差范围
  - 正确做法: 所有中间值多保留1-2位小数，仅对最终答案四舍五入
- **错误做法:** 在所有迭代中重复使用初始导数值
  - 原因: 导数$\frac{dy}{dx}$同时依赖$x$和$y$，因此每一步都会变化
  - 正确做法: 计算$y_{n+1}$之前，在每个新的$(x_n, y_n)$处重新计算$\frac{dy}{dx}$
- **错误做法:** 对给定区间数错步数
  - 原因: 很多学生将起点算作一步，导致迭代次数过多或过少
  - 正确做法: 计算步数为：$n = \frac{\text{终点} x - \text{起点} x}{h}$
- **错误做法:** 混淆凹曲线对应的高估/低估结果
  - 原因: 很容易弄反凹性与误差方向的关系
  - 正确做法: 记住：切线位于凹向上曲线的下方（结果低估），位于凹向下曲线的上方（结果高估）

## 速查表

| 概念 | 规律/公式 |
| --- | --- |
| 迭代公式 | $y_{n+1} = y_n + h \cdot f(x_n, y_n), \quad x_{n+1} = x_n + h$ |
| 初始条件 | 从题目给出的$(x_0, y_0)$开始 |
| 步数 | $n = \frac{x_{\text{final}} - x_0}{h}$ |
| 误差与步长 | 全局误差 $\propto h$ → 步长$h$越小，误差越小 |
| 凹向上解 | 欧拉法得到低估结果 |
| 凹向下解 | 欧拉法得到高估结果 |

## 下一步

欧拉法是更先进的微分方程数值解法的基础，这类方法在自然科学、工程学、经济学和数据科学中被广泛使用，为没有简单解析解的动态系统建模。对于IB AI HL，你接下来将在此基础上学习用分离变量法解析求解可解的一阶微分方程，然后应用微分方程对现实世界的动态系统（如人口增长、冷却过程和化学反应）建模。

- [微分方程的分离变量法](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-separation-of-variables-for-differential/)
- [增长、衰减和逻辑模型的微分方程](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-differential-equations-for-growth-decay/)
- [统计与概率](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u5-overview/)

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