求导法则：幂法则、乘积法则、商法则、链式法则

IB 数学：应用与解释 HL· Topic 5: Calculus, 5.4 Differentiation· 5 分钟阅读

1. 幂法则★☆☆☆☆⏱ 10 min

📘 定义

幂法则

$f (x) = x^{n}$

对于任意实常数 $n$ ，幂函数 $x^{n}$ 的导数为 $n x^{n - 1}$ 。对于标量倍数和和函数，有 $\frac{d}{d x} (a x^{n} + b x^{m}) = an x^{n - 1} + bm x^{m - 1}$ 。

例:

例如 $f (x) = x^{3}$ ， $f^{'} (x) = 3 x^{2}$

📐 例题

对 $x$ 求 $f (x) = 4 x^{5} - \frac{2}{x ^{2}} + 7 x$ 的导数。

1
将所有项改写为标准幂形式 $a x^{n}$ ：
2
$f(x) = 4x^5 - 2x^{-2} + 7x^{1/2}$
3
对每一项分别运用幂法则：
4
$f'(x) = 4 \cdot 5 x^{5-1} - 2 \cdot (-2) x^{-2-1} + 7 \cdot \frac{1}{2} x^{(1/2)-1}$
5
化简结果，改写回原形式：
6
$f'(x) = 20x^4 + 4x^{-3} + \frac{7}{2}x^{-1/2} = 20x^4 + \frac{4}{x^3} + \frac{7}{2\sqrt{x}}$

Exam tip:

运用法则前请始终将根号和倒数改写为幂次项，避免符号和指数错误。

2. 乘积法则★★☆☆☆⏱ 12 min

📘 定义

乘积法则

$y = u (x) v (x)$

若一个函数是两个可导函数 $u (x)$ 和 $v (x)$ 的乘积，其导数为 $\frac{d y}{d x} = u \frac{d v}{d x} + v \frac{d u}{d x}$ 。

例:

例如 $y = x^{2} sin x$ ， $y^{'} = x^{2} cos x + 2 x sin x$

📐 例题

求 $y = (3 x^{2} + 2 x) (x^{3} - 1)$ 的导数。

1
将两个因子分别赋值给 $u$ 和 $v$ ：
2
$u = 3x^2 + 2x, \quad v = x^3 - 1$
3
计算每个函数的导数：
4
$\frac{du}{dx} = 6x + 2, \quad \frac{dv}{dx} = 3x^2$
5
代入乘积法则公式：
6
$\frac{dy}{dx} = (3x^2 + 2x)(3x^2) + (x^3 - 1)(6x + 2)$
7
展开并化简结果：
8
$\frac{dy}{dx} = 9x^4 + 6x^3 + 6x^4 + 2x^3 - 6x - 2 = 15x^4 + 8x^3 - 6x - 2$

3. 商法则★★★☆☆⏱ 15 min

📘 定义

商法则

$y = \frac{u ( x )}{v ( x )}$

对于两个可导函数的商（ $v (x) \neq = 0$ ），导数为 $\frac{d y}{d x} = \frac{v \frac{d u}{d x} - u \frac{d v}{d x}}{v ^{2}}$ ，其中 $u$ 是分子， $v$ 是分母。

例:

例如 $y = \frac{s i n x}{x}$ ， $y^{'} = \frac{x c o s x - s i n x}{x ^{2}}$

📐 例题

对 $x$ 求 $y = \frac{2 x + 1}{x ^{2} - 3}$ 的导数。

1
将分子赋值给 $u$ ，分母赋值给 $v$ ：
2
$u = 2x + 1, \quad v = x^2 - 3$
3
计算 $u$ 和 $v$ 的导数：
4
$\frac{du}{dx} = 2, \quad \frac{dv}{dx} = 2x$
5
代入商法则公式：
6
$\frac{dy}{dx} = \frac{(x^2 - 3)(2) - (2x + 1)(2x)}{(x^2 - 3)^2}$
7
展开、因式分解并化简分子：
8
$\frac{dy}{dx} = \frac{2x^2 - 6 - 4x^2 - 2x}{(x^2 - 3)^2} = \frac{-2(x^2 + x + 3)}{(x^2 - 3)^2}$

Exam tip:

一定要再次检查分子的符号，这是IB考试中商法则问题最常见的扣分错误。

4. 链式法则与多法则结合★★★★☆⏱ 20 min

📘 定义

链式法则

$y = f (g (x))$

对于复合函数 $y = f (g (x))$ ，令 $u = g (x)$ （内层函数），则导数为 $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \times \frac{d u}{d x}$ ：先对外层函数求导，再乘以内层函数的导数。

例:

例如 $y = (x^{2} + 1)^{3}$ ， $y^{'} = 3 (x^{2} + 1)^{2} \times 2 x = 6 x (x^{2} + 1)^{2}$

📐 例题

求 $y = \frac{x 2 x + 1}{( x ^{2} - 4 ) ^{2}}$ 的导数，化简你的答案。

1
改写函数以简化求导：
2
$y = x (2x+1)^{1/2} (x^2 - 4)^{-2}$
3
首先用链式法则对内层复合项求导：
4
$\frac{d}{dx}\left((2x+1)^{1/2}\right) = \frac{1}{2}(2x+1)^{-1/2} \cdot 2 = (2x+1)^{-1/2}$
5
$\frac{d}{dx}\left((x^2-4)^{-2}\right) = -2(x^2-4)^{-3} \cdot 2x = -4x(x^2-4)^{-3}$
6
对三个项运用乘积法则，然后化简：
7
$\frac{dy}{dx} = \frac{-5x^3 - 3x^2 - 12x - 4}{(x^2 - 4)^3 \sqrt{2x+1}}$

5. 常见陷阱

错误做法:

链式法则中忘记乘以内层函数的导数

原因:

仅对外层函数求导，导致导数的比例系数错误

正确做法:

始终先识别内层函数，对其求导，再将其导数乘以外层函数的导数

错误做法:

交换商法则分子中项的顺序

原因:

顺序颠倒会导致所有项符号错误，整道题不得分

正确做法:

化简前用口诀‘下导上减上导下’确认正确顺序

错误做法:

对乘积求导时直接将两个因子的导数相乘

原因:

混淆了乘积的导数与和的导数，导致结果错误

正确做法:

始终使用完整的乘积法则：乘积的导数等于第一项乘第二项导数加第二项乘第一项导数

错误做法:

运用幂法则时倒数项的负指数错误

原因:

忘记 $\frac{1}{x ^{n}} = x^{- n}$ ，导致导数中的指数和符号错误

正确做法:

运用幂法则前，将所有根号和倒数改写为显式幂次项

错误做法:

结合多个法则时忘记对内层复合函数运用链式法则

原因:

注意力集中在外层的乘积/商法则上，导致遗漏内层链式求导

正确做法:

从外到内处理：先运用最外层法则，处理过程中对每个复合项都运用链式法则

6. 速查表

法则名称	公式	要点
幂法则	$\frac{d}{d x} (a x^{n}) = na x^{n - 1}$	适用于所有实数 $n$
乘积法则	$\frac{d}{d x} (uv) = u v^{'} + v u^{'}$	$u, v$ 是 $x$ 的函数
商法则	$\frac{d}{d x} (\frac{u}{v}) = \frac{v u ^{'} - u v ^{'}}{v ^{2}}$	$u$ = 分子， $v$ = 分母
链式法则	$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$	适用于复合函数 $y = f (g (x))$ ， $u = g (x)$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

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下一步

现在你已经掌握了核心求导法则，你可以运用它们解决IB AI HL中常见的各类应用微积分问题。这些法则是本单元几乎所有剩余微积分主题的基础，包括求驻点、解决最优化问题，以及对指数函数、对数函数和三角函数求导。你还会在隐函数求导和相关变化率问题（这些问题经常出现在试卷2中）中用到这些法则。现在通过持续练习熟练掌握这些法则，会让未来所有微积分主题学习都容易得多，因为你在解决复杂多步问题时不需要浪费时间回忆基础法则。