# 求导法则：幂法则、乘积法则、商法则、链式法则

> IB 数学：应用与解释 HL · 第4单元：微积分
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-differentiation-rules-power-product-quotient/

本模块介绍常用函数求导的核心法则，包括幂法则、乘积法则、商法则和链式法则。你将学习单独运用这些法则，并结合它们对复杂函数求导，解决最优化和变化率问题。

**先修:** [导数简介与第一原理](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-introduction-to-derivatives/)

## 学习目标

- 运用幂法则对多项式和幂函数求导
- 对函数的乘积/商正确使用乘积法则和商法则
- 运用链式法则对复合函数求导
- 结合多个法则对复杂函数求导

## 幂法则

**幂法则** — 对于任意实常数$n$，幂函数$x^n$的导数为$n x^{n-1}$。对于标量倍数和和函数，有$\frac{d}{dx}(ax^n + bx^m) = a n x^{n-1} + b m x^{m-1}$。

*记法:* $f(x) = x^n$

*例:* 例如$f(x) = x^3$，$f'(x) = 3x^2$

**例题:** 对$x$求$f(x) = 4x^5 - \frac{2}{x^2} + 7\sqrt{x}$的导数。

1. 将所有项改写为标准幂形式$ax^n$：
2. $$f(x) = 4x^5 - 2x^{-2} + 7x^{1/2}$$
3. 对每一项分别运用幂法则：
4. $$f'(x) = 4 \cdot 5 x^{5-1} - 2 \cdot (-2) x^{-2-1} + 7 \cdot \frac{1}{2} x^{(1/2)-1}$$
5. 化简结果，改写回原形式：
6. $$f'(x) = 20x^4 + 4x^{-3} + \frac{7}{2}x^{-1/2} = 20x^4 + \frac{4}{x^3} + \frac{7}{2\sqrt{x}}$$

> **考试提示:** 运用法则前请始终将根号和倒数改写为幂次项，避免符号和指数错误。

## 乘积法则

**乘积法则** — 若一个函数是两个可导函数$u(x)$和$v(x)$的乘积，其导数为$\frac{dy}{dx} = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx}$。

*记法:* $y = u(x) v(x)$

*例:* 例如$y = x^2 \sin x$，$y' = x^2 \cos x + 2x \sin x$

> **mnemonic**
>
> 第一项乘第二项的导数，加上第二项乘第一项的导数

**例题:** 求$y = (3x^2 + 2x)(x^3 - 1)$的导数。

1. 将两个因子分别赋值给$u$和$v$：
2. $$u = 3x^2 + 2x, \quad v = x^3 - 1$$
3. 计算每个函数的导数：
4. $$\frac{du}{dx} = 6x + 2, \quad \frac{dv}{dx} = 3x^2$$
5. 代入乘积法则公式：
6. $$\frac{dy}{dx} = (3x^2 + 2x)(3x^2) + (x^3 - 1)(6x + 2)$$
7. 展开并化简结果：
8. $$\frac{dy}{dx} = 9x^4 + 6x^3 + 6x^4 + 2x^3 - 6x - 2 = 15x^4 + 8x^3 - 6x - 2$$

## 商法则

**商法则** — 对于两个可导函数的商（$v(x) \neq 0$），导数为$\frac{dy}{dx} = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2}$，其中$u$是分子，$v$是分母。

*记法:* $y = \frac{u(x)}{v(x)}$

*例:* 例如$y = \frac{\sin x}{x}$，$y' = \frac{x \cos x - \sin x}{x^2}$

> **mnemonic**
>
> 下导上减上导下，结果除以下方平方。（下=分母，上=分子）

**例题:** 对$x$求$y = \frac{2x + 1}{x^2 - 3}$的导数。

1. 将分子赋值给$u$，分母赋值给$v$：
2. $$u = 2x + 1, \quad v = x^2 - 3$$
3. 计算$u$和$v$的导数：
4. $$\frac{du}{dx} = 2, \quad \frac{dv}{dx} = 2x$$
5. 代入商法则公式：
6. $$\frac{dy}{dx} = \frac{(x^2 - 3)(2) - (2x + 1)(2x)}{(x^2 - 3)^2}$$
7. 展开、因式分解并化简分子：
8. $$\frac{dy}{dx} = \frac{2x^2 - 6 - 4x^2 - 2x}{(x^2 - 3)^2} = \frac{-2(x^2 + x + 3)}{(x^2 - 3)^2}$$

> **考试提示:** 一定要再次检查分子的符号，这是IB考试中商法则问题最常见的扣分错误。

## 链式法则与多法则结合

**链式法则** — 对于复合函数$y = f(g(x))$，令$u = g(x)$（内层函数），则导数为$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx}$：先对外层函数求导，再乘以内层函数的导数。

*记法:* $y = f(g(x))$

*例:* 例如$y = (x^2 + 1)^3$，$y' = 3(x^2 + 1)^2 \times 2x = 6x(x^2 + 1)^2$

**例题:** 求$y = \frac{x \sqrt{2x + 1}}{(x^2 - 4)^2}$的导数，化简你的答案。

1. 改写函数以简化求导：
2. $$y = x (2x+1)^{1/2} (x^2 - 4)^{-2}$$
3. 首先用链式法则对内层复合项求导：
4. $$\frac{d}{dx}\left((2x+1)^{1/2}\right) = \frac{1}{2}(2x+1)^{-1/2} \cdot 2 = (2x+1)^{-1/2}$$
5. $$\frac{d}{dx}\left((x^2-4)^{-2}\right) = -2(x^2-4)^{-3} \cdot 2x = -4x(x^2-4)^{-3}$$
6. 对三个项运用乘积法则，然后化简：
7. $$\frac{dy}{dx} = \frac{-5x^3 - 3x^2 - 12x - 4}{(x^2 - 4)^3 \sqrt{2x+1}}$$

## 常见错误

- **错误做法:** 链式法则中忘记乘以内层函数的导数
  - 原因: 仅对外层函数求导，导致导数的比例系数错误
  - 正确做法: 始终先识别内层函数，对其求导，再将其导数乘以外层函数的导数
- **错误做法:** 交换商法则分子中项的顺序
  - 原因: 顺序颠倒会导致所有项符号错误，整道题不得分
  - 正确做法: 化简前用口诀‘下导上减上导下’确认正确顺序
- **错误做法:** 对乘积求导时直接将两个因子的导数相乘
  - 原因: 混淆了乘积的导数与和的导数，导致结果错误
  - 正确做法: 始终使用完整的乘积法则：乘积的导数等于第一项乘第二项导数加第二项乘第一项导数
- **错误做法:** 运用幂法则时倒数项的负指数错误
  - 原因: 忘记$\frac{1}{x^n} = x^{-n}$，导致导数中的指数和符号错误
  - 正确做法: 运用幂法则前，将所有根号和倒数改写为显式幂次项
- **错误做法:** 结合多个法则时忘记对内层复合函数运用链式法则
  - 原因: 注意力集中在外层的乘积/商法则上，导致遗漏内层链式求导
  - 正确做法: 从外到内处理：先运用最外层法则，处理过程中对每个复合项都运用链式法则

## 速查表

| 法则名称 | 公式 | 要点 |
| --- | --- | --- |
| 幂法则 | $\frac{d}{dx}(ax^n) = n a x^{n-1}$ | 适用于所有实数$n$ |
| 乘积法则 | $\frac{d}{dx}(uv) = u v' + v u'$ | $u, v$是$x$的函数 |
| 商法则 | $\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v u' - u v'}{v^2}$ | $u$ = 分子，$v$ = 分母 |
| 链式法则 | $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ | 适用于复合函数$y = f(g(x))$，$u = g(x)$ |

## 下一步

现在你已经掌握了核心求导法则，你可以运用它们解决IB AI HL中常见的各类应用微积分问题。这些法则是本单元几乎所有剩余微积分主题的基础，包括求驻点、解决最优化问题，以及对指数函数、对数函数和三角函数求导。你还会在相关变化率问题（通过链式法则联系随时间共同变化的量，这些问题经常出现在试卷2中）中用到这些法则。现在通过持续练习熟练掌握这些法则，会让未来所有微积分主题学习都容易得多，因为你在解决复杂多步问题时不需要浪费时间回忆基础法则。

- [相关变化率](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-related-rates/)
- [标准函数的导数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-derivatives-of-standard-functions/)
- [切线、法线、临界点、拐点](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-tangents-normals-critical-points-inflection/)

---

来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-differentiation-rules-power-product-quotient/