# 增长、衰减和逻辑模型的微分方程

> IB 数学 应用与解释 HL · IB Math AI HL
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-differential-equations-for-growth-decay/

本子主题讲解如何建立和求解对指数增长、指数衰减以及带有限环境容纳量的受限逻辑增长进行建模的微分方程。这些是IB AI HL考试中常见的建模问题。

**先修:** [可分离变量微分方程](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-separable-differential-equations/); [基础积分技巧](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u3-integration-basics/)

## 学习目标

- 为指数增长和衰减场景建立微分方程
- 求解增长/衰减问题中的可分离变量微分方程
- 为受限增长建立并解释逻辑微分方程
- 求解逻辑微分方程并结合场景解释模型参数
- 应用这些模型解答IB考试中的常见问题

## 指数增长模型

**指数增长** — 某一量的瞬时变化率与该量当前大小成正比的增长方式，适用于增长资源无限的情况。

*记法:* \frac{dP}{dt} = kP, \quad k>0

*例:* 无限制实验室环境中的细菌生长

这是一个可分离变量微分方程，可以显式求解得到通式 $P(t) = P_0 e^{kt}$，其中 $P_0 = P(0)$ 是初始量。

**例题:** 一个细菌种群呈指数增长。在 $t=0$ 时，有100个细菌。2小时后，有500个细菌。求增长常数 $k$，并预测5小时后的种群数量，结果保留3位有效数字。

1. 写出带初始条件的微分方程：
2. $$\frac{dP}{dt} = kP, \quad P(0) = 100$$
3. 分离变量并对两边积分：
4. $$\int \frac{1}{P} dP = \int k dt \implies \ln|P| = kt + C$$
5. 两边取指数得到通解，其中 $A = e^C$：
6. $$P(t) = Ae^{kt}$$
7. 代入初始条件 $P(0) = 100$ 求 $A$：
8. $$100 = Ae^{0} \implies A = 100$$
9. 利用第二个条件 $P(2) = 500$ 求解 $k$：
10. $$500 = 100e^{2k} \implies \ln 5 = 2k \implies k = \frac{\ln 5}{2} \approx 0.805$$
11. 计算 $t=5$ 时的种群数量：
12. $$P(5) = 100e^{0.805 \times 5} \approx 100e^{4.025} \approx 5620$$

> **考试提示:** 除非题目另有说明，否则始终将常数保留3位有效数字，这是IB考试的标准要求。

*计算器:* allowed

## 指数衰减与半衰期

**半衰期** — 发生指数衰减的量减少到其初始值一半所需的时间。对于任何指数衰减过程，半衰期都是恒定的，与初始量无关。

*例:* 不稳定同位素的放射性衰变

对于指数衰减，微分方程带有负号以表示量随时间减少：$\frac{dN}{dt} = -kN$，其中 $k>0$ 是衰减常数。

**例题:** 碳-14的半衰期为5730年。一份样品初始含有10g碳-14。10000年后还剩下多少碳-14，结果保留3位有效数字？

1. 写出带初始条件的衰减模型：
2. $$\frac{dN}{dt} = -kN, \quad N(0) = 10 \implies N(t) = 10e^{-kt}$$
3. 利用半衰期求 $k$：
4. $$N(5730) = 5 = 10e^{-k(5730)} \implies \ln(0.5) = -5730k \implies k = \frac{\ln 2}{5730} \approx 1.210 \times 10^{-4}$$
5. 代入 $t=10000$ 计算：
6. $$N(10000) = 10e^{-(1.210 \times 10^{-4})(10000)} = 10e^{-1.21} \approx 2.98$$
7. 最终答案：剩余碳-14为2.98 g。

> **warning**
>
> 务必在衰减微分方程中加上负号，避免得到递增的量，这是考试中常见的错误。

*计算器:* allowed

## 逻辑增长模型

**逻辑微分方程** — 考虑资源有限的种群增长模型，其中 $r$ 是内禀增长率（种群规模较小时的增长率），$K$ 是环境容纳量（最大可持续种群规模）。

*记法:* \frac{dP}{dt} = rP\left(1 - \frac{P}{K}\right)

*例:* 受限栖息地中的野生动物种群

初始种群为 $P_0$ 时，逻辑微分方程的通解为：$P(t) = \frac{K}{1 + Ae^{-rt}}$，其中 $A = \frac{K - P_0}{P_0}$。

**例题:** 森林中的鹿群服从逻辑增长，环境容纳量为1000，内禀增长率为每年0.1。2020年的初始种群数量为200。预测2030年的种群数量，结果保留到整数。

1. 确定参数：$K = 1000$, $r = 0.1$, $P_0 = 200$, $t = 10$ 年
2. 计算常数 $A$：
3. $$A = \frac{K - P_0}{P_0} = \frac{1000 - 200}{200} = 4$$
4. 代入通解：
5. $$P(t) = \frac{1000}{1 + 4e^{-0.1t}}$$
6. 代入 $t=10$ 计算：
7. $$P(10) = \frac{1000}{1 + 4e^{-1}} \approx \frac{1000}{2.4716} \approx 405$$

**概念自测**

测试你对逻辑增长的理解：

1. 当 $P = K$ 时，$\frac{dP}{dt}$ 的值是多少？

   - A) $rK$
   - B) $0$
   - C) $r$
   - D) $\frac{rK}{2}$

   *解析:* 当 $P=K$ 时，$1 - \frac{P}{K} = 0$，因此增长率为零，种群会稳定在环境容纳量。

*计算器:* allowed

## 模型参数解释

IB考试非常频繁地要求你结合场景解释参数的含义，而不只是计算数值。这在拓展回答题中占多个分值，因此正确表述你的答案非常重要。

**考试命令词**

这类问题的常见指令术语：

- **Interpret** — 在给定场景中解释参数的含义，如有需要需包含单位 *(解释该模型中 $K=1000$ 的含义)*

- **Justify** — 解释为什么给定模型适合（或不适合）该场景 *(证明该种群使用逻辑模型的合理性)*

**例题:** 一个城市的人口建模为 $\frac{dP}{dt} = 0.02P\left(1 - \frac{P}{5000000}\right)$，其中 $P$ 是人口数量，$t$ 是年份，单位为年。结合场景解释 $0.02$ 和 $5000000$ 的含义。

1. 回顾标准逻辑形式 $\frac{dP}{dt} = rP\left(1 - \frac{P}{K}\right)$
2. 解释 $r=0.02$：这是内禀增长率。当种群规模很小时，人口的瞬时增长率为每年2%。
3. 解释 $K=5000000$：这是环境容纳量。该模型预测该城市的最大可持续人口为500万人。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 忘记在指数衰减微分方程中加负号，导致得到递增而非递减的量。
  - 原因: 混淆了增长和衰减的记号，得到完全相反的结果，丢失所有分数。
  - 正确做法: 始终将衰减写为 $\frac{dN}{dt} = -kN$ 且 $k>0$，这样量会随时间减少。
- **错误做法:** 在通过初始条件求常数之前先求解增长/衰减常数，导致结果错误。
  - 原因: 急于进行代数运算，颠倒了解题步骤顺序。
  - 正确做法: 始终先通过初始条件 $P(0) = P_0$ 求出常数 $A$，再使用第二个数据点求 $k$ 或 $r$。
- **错误做法:** 将逻辑模型中的 $r$ 解释为任何种群规模下的实际增长率。
  - 原因: 混淆了内禀增长率（小规模种群时的增长率）和当前实际增长率。
  - 正确做法: 记住 $r$ 仅当种群规模很小时才是增长率，实际增长率取决于当前种群规模。
- **错误做法:** 对有明确最大规模限制的种群使用指数增长模型。
  - 原因: 过度泛化指数模型，忘记指数增长假设资源无限。
  - 正确做法: 如果题目提到最大可持续种群或资源有限，使用逻辑模型而非指数模型。

## 速查表

| 模型 | 微分方程 | 通解 | 关键参数 |
| --- | --- | --- | --- |
| 指数增长 | $\frac{dP}{dt} = kP, k>0$ | $P(t) = P_0 e^{kt}$ | $k$ = 增长常数, $P_0$ = 初始量 |
| 指数衰减 | $\frac{dN}{dt} = -kN, k>0$ | $N(t) = N_0 e^{-kt}$ | 半衰期 $t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}$ |
| 逻辑增长 | $\frac{dP}{dt} = rP\left(1 - \frac{P}{K}\right)$ | $P(t) = \frac{K}{1 + Ae^{-rt}}, A = \frac{K-P_0}{P_0}$ | $r$ = 内禀增长, $K$ = 环境容纳量 |

## 下一步

本子主题建立在你对可分离变量微分方程和基础积分的知识之上，是IB AI HL试卷2拓展回答题中频繁考察的微积分建模部分的核心。如果你选择完成以建模为核心的内部评估项目，掌握这些模型也非常有用。掌握增长、衰减和逻辑模型后，你可以学习更高级的微分方程主题，包括无法解析求解的微分方程的数值解法，以及建模在真实场景中的进一步应用。

- [统计与概率](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u5-overview/)
- [数据类型、抽样、偏差](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u5-data-types-sampling-bias/)
- [描述统计：集中趋势与离散程度度量](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u5-descriptive-statistics-measures-of-center/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-differential-equations-for-growth-decay/