标准函数的导数

IB 数学 AI HL· IB AI HL Syllabus 2021 5.1· 15 分钟阅读

1. 幂函数求导法则★☆☆☆☆⏱ 3 min

📘 定义

幂函数求导法则

For $f (x) = x^{n}$ , $f^{'} (x) = n x^{n - 1}$

幂函数求导法则给出所有指数为常数 $n$ 的幂函数的导数，适用于所有实数 $n$ （正数、负数、分数、无理数）。

例:

对于 $f (x) = x^{3}$ , $f^{'} (x) = 3 x^{2}$

📐 例题

对 $f (x) = 5 x^{4} - \frac{2}{x ^{3}} + 7 x$ 关于 $x$ 求导。

1
将所有项改写为幂函数形式 $x^{n}$ ：
2
$f(x) = 5x^4 - 2x^{-3} + 7x^{1/2}$
3
逐项应用幂函数法则和常数倍数法则：
4
第一项: $\frac{d}{d x} (5 x^{4}) = 5 \times 4 x^{4 - 1} = 20 x^{3}$
5
第二项: $\frac{d}{d x} (- 2 x^{- 3}) = - 2 \times (- 3) x^{- 3 - 1} = 6 x^{- 4}$
6
第三项: $\frac{d}{d x} (7 x^{1/2}) = 7 \times \frac{1}{2} x^{(1/2 - 1)} = \frac{7}{2} x^{- 1/2}$
7
改写回根号/倒数形式得到最终答案：
8
$f'(x) = 20x^3 + \frac{6}{x^4} + \frac{7}{2\sqrt{x}}$

Exam tip:

幂函数求导法则务必完成两个步骤：乘以指数，然后将指数减1。

2. 指数函数与对数函数的导数★★☆☆☆⏱ 4 min

📘 定义

指数函数与对数函数的导数

对于底数 $e$ (欧拉数): $\frac{d}{d x} e^{x} = e^{x}$ 且 $\frac{d}{d x} ln x = \frac{1}{x}$ 。对于任意一般正底数 $a \neq = 1$ : $\frac{d}{d x} a^{x} = a^{x} ln a$ 且 $\frac{d}{d x} lo g_{a} x = \frac{1}{x l n a}$ 。

📐 例题

求 $g (x) = 3 e^{x} - 2 ln (5 x) + 4^{x}$ 的导数。

1
利用对数法则拆分对数项，分离常数: $ln (5 x) = ln 5 + ln x$
2
逐项求导，注意 $ln 5$ 是常数 (导数 = 0):
3
$\frac{d}{d x} (3 e^{x}) = 3 e^{x}$
4
$\frac{d}{d x} (- 2 ln 5 x) = - 2 (0 + \frac{1}{x}) = - \frac{2}{x}$
5
$\frac{d}{d x} (4^{x}) = 4^{x} ln 4$
6
合并项得到最终答案：
7
$g'(x) = 3e^x - \frac{2}{x} + 4^x \ln 4$

3. 三角函数的导数★★☆☆☆⏱ 4 min

📘 定义

基本三角函数的导数

以下所有法则仅在 $x$ 以弧度为单位时成立。导数分别为: $\frac{d}{d x} sin x = cos x$ , $\frac{d}{d x} cos x = - sin x$ , $\frac{d}{d x} tan x = sec^{2} x$ 。

📐 例题

对 $h (x) = 4 tan x - 3 cos x + \frac{s i n x}{2}$ 求导。

1
逐项应用法则：
2
$\frac{d}{d x} (4 tan x) = 4 sec^{2} x$
3
$\frac{d}{d x} (- 3 cos x) = - 3 (- sin x) = 3 sin x$
4
$\frac{d}{d x} (\frac{s i n x}{2}) = \frac{1}{2} cos x$
5
最终结果：
6
$h'(x) = 4\sec^2 x + 3\sin x + \frac{1}{2}\cos x$

Exam tip:

对三角函数求导前，务必将所有角度单位从角度转换为弧度。

4. 反三角函数的导数★★★☆☆HL 专属⏱ 4 min

📘 定义

标准反三角函数的导数

对于 IB AI HL，需要掌握的导数为: $\frac{d}{d x} arcsin x = \frac{1}{1 - x ^{2}}$ , $\frac{d}{d x} arccos x = - \frac{1}{1 - x ^{2}}$ , $\frac{d}{d x} arctan x = \frac{1}{1 + x ^{2}}$ 。

📐 例题

求 $y = 5 arctan x + 2 arcsin x$ 的导数。

1
对每一项应用标准导数法则：
2
$\frac{d}{d x} (5 arctan x) = 5 \times \frac{1}{1 + x ^{2}} = \frac{5}{1 + x ^{2}}$
3
$\frac{d}{d x} (2 arcsin x) = 2 \times \frac{1}{1 - x ^{2}} = \frac{2}{1 - x ^{2}}$
4
最终导数：
5
$\frac{dy}{dx} = \frac{5}{1+x^2} + \frac{2}{\sqrt{1-x^2}}$

Exam tip:

不要忘记 $arccos x$ 导数的负号 — 这是考试中常见的扣分点。

5. 非正式极限与导数的含义★☆☆☆☆⏱ 5 min

在应用导数法则之前，先理解导数到底衡量的是什么会很有帮助。在 IB AI 中，极限是以非正式方式处理的：你不用代数证明，而是通过查看数值表格或观察图像来估计函数趋近的值。这种直觉支撑着两个核心概念——切线的梯度（斜率），以及变化率。

📘 定义

非正式极限

\lim_{x \to a} f(x)

当 x（从两侧）越来越接近 a 时，f(x) 越来越接近的那个唯一值。你可以从 x = a 附近的数值表格中做数值估计，或从图像中读出，而无需任何形式化代数。

例:

当 x 趋近 2 时，\frac{x^2 - 4}{x - 2} 的值越来越接近 4，因此极限是 4。

📐 例题

用数值表格估计 $lim_{x \to 2} \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}$ 。

1
该表达式恰好在 x = 2 处无定义，因此在略小于和略大于 2 的 x 值处求值：
2
$\begin{array}{c|ccccc} x & 1.9 & 1.99 & 2.001 & 2.01 & 2.1 \\ \hline f(x) & 3.9 & 3.99 & 4.001 & 4.01 & 4.1 \end{array}$
3
从两侧看，数值都逼近 4，因此我们估计极限为 4。（GDC 的表格功能可以瞬间完成这一步。）

导数正是建立在这个极限的思想之上。曲线在某点处的梯度可以用连接两个邻近点的弦的梯度来估计；当第二个点向第一个点滑动时，弦的梯度会逼近一个唯一的值——即该点处切线的梯度。这个极限值就是导数，它同时也衡量函数的瞬时变化率。

📐 例题

对于 $f (x) = x^{2}$ ，通过缩小弦所在区间来估计 $x = 3$ 处切线的梯度。

1
从 x = 3 到 x = 3 + h 的弦的梯度为 $\frac{f ( 3 + h ) - f ( 3 )}{h}$ 。对越来越小的 h 计算它：
2
$\begin{array}{c|ccc} h & 0.1 & 0.01 & 0.001 \\ \hline \text{弦的梯度} & 6.1 & 6.01 & 6.001 \end{array}$
3
当 h 向 0 缩小时，弦的梯度逼近 6，因此 x = 3 处切线的梯度约为 6。
4
这与幂函数法则吻合： $f^{'} (x) = 2 x$ 给出 $f^{'} (3) = 6$ 。你学过的法则正是这个极限过程的快捷方式。

6. 常见陷阱

错误做法:

对负指数、 $cos x$ 或 $arccos x$ 求导时忘记负号。

原因:

符号错误是基础求导题中最常见的扣分错误。

正确做法:

求导后，再次检查所有负指数、三角函数和反三角函数项的符号是否正确。

错误做法:

将 $ln (k x)$ (常数 $k$ ) 求导得到 $\frac{1}{k x}$ 。

原因:

忘记 $ln (k x) = ln k + ln x$ ，且 $ln k$ 是常数，导数为零。

正确做法:

求导前拆分对数分离常数项，确认导数是 $\frac{1}{x}$ 。

错误做法:

混淆幂函数法则和指数函数法则：将 $x^{n}$ (常数 $n$ ) 求导为 $x^{n} ln x$ ，或将 $a^{x}$ (常数 $a$ ) 求导为 $x a^{x - 1}$ 。

原因:

混淆了幂函数（底数为变量、指数为常数）和指数函数（底数为常数、指数为变量）。

正确做法:

对 $x^{n}$ (常数 $n$ ) 用幂函数法则，对 $a^{x}$ (常数 $a$ ) 用指数函数法则。

错误做法:

当 $x$ 以角度为单位时仍对三角函数直接求导。

原因:

所有标准三角函数导数法则都是基于弧度推导的，不适用于角度。

正确做法:

应用导数法则前，将所有角度单位转换为弧度。

错误做法:

应用幂函数法则时忘记将指数减1，例如写出 $\frac{d}{d x} (5 x^{3}) = 15 x^{3}$ 。

原因:

只完成了幂函数法则的第一步（乘以指数），遗漏了第二步。

正确做法:

幂函数法则始终遵循两个步骤：1) 乘以原指数，2) 指数减1。

7. 速查表

函数类别	$f (x)$	$f^{'} (x)$
幂函数	$x^{n}$ (n 常数)	$n x^{n - 1}$
指数函数	$e^{x}$	$e^{x}$
指数函数	$a^{x}$ (a>0, a≠1)	$a^{x} ln a$
对数函数	$ln x$	$1/ x$
对数函数	$lo g_{a} x$	$1/ (x ln a)$
三角函数	$sin x$	$cos x$
三角函数	$cos x$	$- sin x$
三角函数	$tan x$	$sec^{2} x$
反三角函数 (HL)	$arcsin x$	$1/ 1 - x^{2}$
反三角函数 (HL)	$arccos x$	$- 1/ 1 - x^{2}$
反三角函数 (HL)	$arctan x$	$1/ (1 + x^{2})$

下一步

掌握这些标准导数法则是 IB AI HL 所有后续微积分学习的基础。接下来你将学习如何组合这些基础法则，对由标准函数通过复合、乘除得到的更复杂函数求导。这些组合法则是考试中所有微积分应用的基础，从求切线、优化到积分和解微分方程都会用到，因此现在熟练掌握这些标准法则可以避免课程后续学习中出错。