# 标准函数的导数

> IB 数学 AI HL · 第4单元：微积分
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-derivatives-of-standard-functions/

本子主题涵盖 IB AI HL 中你会遇到的所有标准函数的核心导数法则，是后续所有求导、积分和微积分应用的重要基础。

**先修:** [求导导论与导数的极限定义](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-introduction-to-differentiation/)

## 学习目标

- 记忆 IB AI HL 所有标准函数的导数法则
- 正确对幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数求导
- 应用基本导数法则时，避免常见的符号和法则混淆错误

## 幂函数求导法则

**幂函数求导法则** — 幂函数求导法则给出所有指数为常数$n$的幂函数的导数，适用于所有实数$n$（正数、负数、分数、无理数）。

*记法:* For $f(x) = x^n$, $f'(x) = nx^{n-1}$

*例:* 对于 $f(x) = x^3$, $f'(x) = 3x^2$

**例题:** 对 $f(x) = 5x^4 - \frac{2}{x^3} + 7\sqrt{x}$ 关于 $x$ 求导。

1. 将所有项改写为幂函数形式 $x^n$：
2. $$f(x) = 5x^4 - 2x^{-3} + 7x^{1/2}$$
3. 逐项应用幂函数法则和常数倍数法则：
4. 第一项: $\frac{d}{dx}(5x^4) = 5 \times 4x^{4-1} = 20x^3$
5. 第二项: $\frac{d}{dx}(-2x^{-3}) = -2 \times (-3)x^{-3-1} = 6x^{-4}$
6. 第三项: $\frac{d}{dx}(7x^{1/2}) = 7 \times \frac{1}{2}x^{(1/2 - 1)} = \frac{7}{2}x^{-1/2}$
7. 改写回根号/倒数形式得到最终答案：
8. $$f'(x) = 20x^3 + \frac{6}{x^4} + \frac{7}{2\sqrt{x}}$$

> **tip**
>
> 应用幂函数法则前，务必将根号和倒数改写为幂次项，避免出错。

> **考试提示:** 幂函数求导法则务必完成两个步骤：乘以指数，然后将指数减1。

## 指数函数与对数函数的导数

**指数函数与对数函数的导数** — 对于底数 $e$ (欧拉数): $\frac{d}{dx}e^x = e^x$ 且 $\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$。对于任意一般正底数 $a \neq 1$: $\frac{d}{dx}a^x = a^x \ln a$ 且 $\frac{d}{dx}\log_a x = \frac{1}{x \ln a}$。

**例题:** 求 $g(x) = 3e^x - 2\ln(5x) + 4^x$ 的导数。

1. 利用对数法则拆分对数项，分离常数: $\ln(5x) = \ln 5 + \ln x$
2. 逐项求导，注意 $\ln 5$ 是常数 (导数 = 0):
3. $\frac{d}{dx}(3e^x) = 3e^x$
4. $\frac{d}{dx}(-2\ln 5x) = -2\left(0 + \frac{1}{x}\right) = -\frac{2}{x}$
5. $\frac{d}{dx}(4^x) = 4^x \ln 4$
6. 合并项得到最终答案：
7. $$g'(x) = 3e^x - \frac{2}{x} + 4^x \ln 4$$

> **note**
>
> 如果你忘记了一般底数的导数法则，可以将 $a^x = e^{x \ln a}$ 再求导，重新推导出结果。

## 三角函数的导数

**基本三角函数的导数** — 以下所有法则仅在 $x$ 以弧度为单位时成立。导数分别为: $\frac{d}{dx}\sin x = \cos x$, $\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$, $\frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x$。

**例题:** 对 $h(x) = 4\tan x - 3\cos x + \frac{\sin x}{2}$ 求导。

1. 逐项应用法则：
2. $\frac{d}{dx}(4\tan x) = 4\sec^2 x$
3. $\frac{d}{dx}(-3\cos x) = -3(-\sin x) = 3\sin x$
4. $\frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{2}\right) = \frac{1}{2}\cos x$
5. 最终结果：
6. $$h'(x) = 4\sec^2 x + 3\sin x + \frac{1}{2}\cos x$$

> **符号记忆口诀**
>
> Sin 得 Cos，Cos 带负号

> **考试提示:** 对三角函数求导前，务必将所有角度单位从角度转换为弧度。

## 反三角函数的导数

**标准反三角函数的导数** — 对于 IB AI HL，需要掌握的导数为: $\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, $\frac{d}{dx}\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, $\frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}$。

**例题:** 求 $y = 5\arctan x + 2\arcsin x$ 的导数。

1. 对每一项应用标准导数法则：
2. $\frac{d}{dx}(5\arctan x) = 5 \times \frac{1}{1+x^2} = \frac{5}{1+x^2}$
3. $\frac{d}{dx}(2\arcsin x) = 2 \times \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{2}{\sqrt{1-x^2}}$
4. 最终导数：
5. $$\frac{dy}{dx} = \frac{5}{1+x^2} + \frac{2}{\sqrt{1-x^2}}$$

> **考试提示:** 不要忘记 $\arccos x$ 导数的负号 — 这是考试中常见的扣分点。

## 非正式极限与导数的含义

在应用导数法则之前，先理解导数到底衡量的是什么会很有帮助。在 IB AI 中，极限是以非正式方式处理的：你不用代数证明，而是通过查看数值表格或观察图像来估计函数趋近的值。这种直觉支撑着两个核心概念——切线的梯度（斜率），以及变化率。

**非正式极限** — 当 x（从两侧）越来越接近 a 时，f(x) 越来越接近的那个唯一值。你可以从 x = a 附近的数值表格中做数值估计，或从图像中读出，而无需任何形式化代数。

*记法:* \lim_{x \to a} f(x)

*例:* 当 x 趋近 2 时，\frac{x^2 - 4}{x - 2} 的值越来越接近 4，因此极限是 4。

**例题:** 用数值表格估计 $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$。

1. 该表达式恰好在 x = 2 处无定义，因此在略小于和略大于 2 的 x 值处求值：
2. $$\begin{array}{c|ccccc} x & 1.9 & 1.99 & 2.001 & 2.01 & 2.1 \\ \hline f(x) & 3.9 & 3.99 & 4.001 & 4.01 & 4.1 \end{array}$$
3. 从两侧看，数值都逼近 4，因此我们估计极限为 4。（GDC 的表格功能可以瞬间完成这一步。）

导数正是建立在这个极限的思想之上。曲线在某点处的梯度可以用连接两个邻近点的弦的梯度来估计；当第二个点向第一个点滑动时，弦的梯度会逼近一个唯一的值——即该点处切线的梯度。这个极限值就是导数，它同时也衡量函数的瞬时变化率。

**例题:** 对于 $f(x) = x^2$，通过缩小弦所在区间来估计 $x = 3$ 处切线的梯度。

1. 从 x = 3 到 x = 3 + h 的弦的梯度为 $\frac{f(3+h) - f(3)}{h}$。对越来越小的 h 计算它：
2. $$\begin{array}{c|ccc} h & 0.1 & 0.01 & 0.001 \\ \hline \text{弦的梯度} & 6.1 & 6.01 & 6.001 \end{array}$$
3. 当 h 向 0 缩小时，弦的梯度逼近 6，因此 x = 3 处切线的梯度约为 6。
4. 这与幂函数法则吻合：$f'(x) = 2x$ 给出 $f'(3) = 6$。你学过的法则正是这个极限过程的快捷方式。

> **f'(x) 的两种解读**
>
> 根据题目的表述来解读导数：既可以看作曲线切线的梯度，也可以看作一个量相对于另一个量的瞬时变化率（例如速度就是位移的变化率）。

## 常见错误

- **错误做法:** 对负指数、$\cos x$ 或 $\arccos x$ 求导时忘记负号。
  - 原因: 符号错误是基础求导题中最常见的扣分错误。
  - 正确做法: 求导后，再次检查所有负指数、三角函数和反三角函数项的符号是否正确。
- **错误做法:** 将 $\ln(kx)$ (常数 $k$) 求导得到 $\frac{1}{kx}$。
  - 原因: 忘记 $\ln(kx) = \ln k + \ln x$，且 $\ln k$ 是常数，导数为零。
  - 正确做法: 求导前拆分对数分离常数项，确认导数是 $\frac{1}{x}$。
- **错误做法:** 混淆幂函数法则和指数函数法则：将 $x^n$ (常数 $n$) 求导为 $x^n \ln x$，或将 $a^x$ (常数 $a$) 求导为 $x a^{x-1}$。
  - 原因: 混淆了幂函数（底数为变量、指数为常数）和指数函数（底数为常数、指数为变量）。
  - 正确做法: 对 $x^n$ (常数 $n$) 用幂函数法则，对 $a^x$ (常数 $a$) 用指数函数法则。
- **错误做法:** 当 $x$ 以角度为单位时仍对三角函数直接求导。
  - 原因: 所有标准三角函数导数法则都是基于弧度推导的，不适用于角度。
  - 正确做法: 应用导数法则前，将所有角度单位转换为弧度。
- **错误做法:** 应用幂函数法则时忘记将指数减1，例如写出 $\frac{d}{dx}(5x^3) = 15x^3$。
  - 原因: 只完成了幂函数法则的第一步（乘以指数），遗漏了第二步。
  - 正确做法: 幂函数法则始终遵循两个步骤：1) 乘以原指数，2) 指数减1。

## 速查表

| 函数类别 | $f(x)$ | $f'(x)$ |
| --- | --- | --- |
| 幂函数 | $x^n$ (n 常数) | $nx^{n-1}$ |
| 指数函数 | $e^x$ | $e^x$ |
| 指数函数 | $a^x$ (a>0, a≠1) | $a^x \ln a$ |
| 对数函数 | $\ln x$ | $1/x$ |
| 对数函数 | $\log_a x$ | $1/(x \ln a)$ |
| 三角函数 | $\sin x$ | $\cos x$ |
| 三角函数 | $\cos x$ | $-\sin x$ |
| 三角函数 | $\tan x$ | $\sec^2 x$ |
| 反三角函数 (HL) | $\arcsin x$ | $1/\sqrt{1-x^2}$ |
| 反三角函数 (HL) | $\arccos x$ | $-1/\sqrt{1-x^2}$ |
| 反三角函数 (HL) | $\arctan x$ | $1/(1+x^2)$ |

## 下一步

掌握这些标准导数法则是 IB AI HL 所有后续微积分学习的基础。接下来你将学习如何组合这些基础法则，对由标准函数通过复合、乘除得到的更复杂函数求导。这些组合法则是考试中所有微积分应用的基础，从求切线、优化到积分和解微分方程都会用到，因此现在熟练掌握这些标准法则可以避免课程后续学习中出错。

- [切线、法线、临界点、拐点](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-tangents-normals-critical-points-inflection/)
- [单调函数、二阶导数判别法](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-monotonic-functions-second-derivative-test/)
- [最优化问题](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-optimization-problems/)

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