# 定积分与曲线下面积

> IB 数学应用与解释 HL · 第4单元：微积分
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-definite-integrals-and-area-under/

本模块讲解通过微积分基本定理计算定积分，以及使用定积分求曲线下的净面积和总面积，包括曲线与x轴相交的情况，以及IB考试中常见的实际应用。

**先修:** [原函数与不定积分](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-antiderivatives-indefinite-integration/); [基本求导法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-basic-differentiation-rules/)

## 学习目标

- 使用微积分基本定理计算定积分
- 区分曲线下的净面积和总几何面积
- 计算与x轴相交的曲线和x轴之间的总面积
- 将面积计算应用于运动学等实际场景

## 定积分：定义与计算

**定积分** — 函数f(x)从下限a到上限b的定积分通过微积分基本定理计算，结果为数值而非函数。

*记法:* \int_a^b f(x) \, dx

*例:* \int_2^4 2x \, dx = [x^2]_2^4 = 16 - 4 = 12

微积分基本定理（FTC）第二部分告诉我们，如果$F(x)$是$f(x)$的原函数，即$F'(x) = f(x)$，那么：

$$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$$

**例题:** 计算定积分$\int_1^3 (3x^2 + 2x) \, dx$

1. 首先求被积函数的一般原函数。积分常数在定积分中会抵消，因此可以省略。
2. $$\int (3x^2 + 2x) dx = x^3 + x^2$$
3. 将原函数写在方括号中，标记上下限：
4. $$[x^3 + x^2]_1^3$$
5. 代入上限计算，再减去代入下限的结果：
6. $$(3^3 + 3^2) - (1^3 + 1^2) = (27 + 9) - (1 + 1) = 34$$

## 净面积 vs 总面积

考试中常见的混淆点是定积分的值（净面积）和曲线与x轴之间的总几何面积之间的区别。

**净面积** — 定积分的值将x轴上方的面积计为正，x轴下方的面积计为负，得到的就是带符号的净面积。

**总面积** — 总几何面积是每个带符号区域绝对值的和，因此无论相对于x轴的位置如何，所有面积都计为正值。

> **warning**
>
> IB考试题目会明确说明要求的是积分值（净面积）还是总几何面积。请务必仔细阅读题目表述。

**概念自测**

测试你对净面积和总面积区别的理解：

1. $\int_{-2}^2 x dx$的值（净面积）是多少？

   - 0
   - 2
   - 4
   - -4

   *解析:* 正确！0到2之间x轴上方的面积与-2到0之间x轴下方的负面积抵消，因此净面积为0，总几何面积为4。

## 计算曲线与x轴之间的总面积

要计算$y=f(x)$、x轴、$x=a$和$x=b$之间的总几何面积，请遵循以下3步流程：
1. 找出$f(x)$在$a$和$b$之间的所有x截距
2. 将区间按相邻截距拆分为子区间
3. 取每个子积分的绝对值后相加

**例题:** 求$x=-2$到$x=2$之间$y = x$与x轴之间的总几何面积。

1. 找到拆分区间的x截距：$y=x$在$x=0$处穿过x轴，因此拆分为$[-2, 0]$和$[0, 2]$。
2. 计算每个子区间上的积分：
3. $$\int_{-2}^0 x dx = \left[\frac{1}{2}x^2\right]_{-2}^0 = 0 - 2 = -2$$
4. $$\int_0^2 x dx = \left[\frac{1}{2}x^2\right]_0^2 = 2 - 0 = 2$$
5. 取每个结果的绝对值后相加得到总面积：
6. $$|-2| + |2| = 2 + 2 = 4$$

## 实际应用

定积分和面积计算在IB AI HL的实际建模问题中非常常见。例如，速度-时间图像下的净面积给出总位移，而总面积给出总路程。

**例题:** 一个球被竖直上抛，速度为$v(t) = 20 - 10t$ m/s，其中$t$是抛出后的时间（秒）。求球在$t=0$到$t=3$秒之间运动的总路程。

1. 找到速度变号的位置：令$v(t)=0$ → $20 - 10t = 0$ → $t=2$秒。拆分为$[0,2]$（向上运动，速度为正）和$[2,3]$（向下运动，速度为负）。
2. 对每个区间积分：
3. $$\int_0^2 (20 - 10t) dt = [20t - 5t^2]_0^2 = 20$$
4. $$\int_2^3 (20 - 10t) dt = [20t - 5t^2]_2^3 = -5$$
5. 相加绝对值得到总路程：
6. $$|20| + |-5| = 25 \text{ 米}$$

## 数值积分：梯形法则

当函数难以或无法精确积分，或者你手上只有一张数据值表格时，仍然可以对定积分做数值估计。梯形法则（trapezoidal rule）是 IB AI 的招牌数值方法，它用一系列梯形而不是矩形来近似曲线下的面积。

**梯形法则** — 将 $[a,b]$ 分成 $n$ 个等宽的条带，每个宽度 $h = \frac{b-a}{n}$，得到纵坐标 $y_0, y_1, \ldots, y_n$。每个条带用一个梯形近似；两端纵坐标各计一次，所有内部纵坐标各计两次。

*记法:* \int_a^b y \, dx \approx \frac{h}{2}\left(y_0 + y_n + 2(y_1 + y_2 + \cdots + y_{n-1})\right)

*例:* 分成 4 个条带需要 5 个纵坐标 $y_0, y_1, y_2, y_3, y_4$，其中内部纵坐标 $y_1, y_2, y_3$ 要加倍。

> **note**
>
> 梯形法则给出的是近似值，不是精确值。对于凹向上（向上弯曲）的曲线，梯形位于曲线上方，因此法则会高估真实面积；对于凹向下的曲线则会低估。

**例题:** 用 4 个条带的梯形法则估计 $\int_0^2 \sqrt{1 + x^3} \, dx$，结果保留 3 位有效数字。

1. 求条带宽度：$h = \frac{2 - 0}{4} = 0.5$，因此 x 值为 $0, 0.5, 1, 1.5, 2$。
2. 在每个 x 值处计算纵坐标 $y = \sqrt{1 + x^3}$：
3. $$y_0 = 1, \ y_1 = 1.0607, \ y_2 = 1.4142, \ y_3 = 2.0917, \ y_4 = 3$$
4. 应用公式，将内部纵坐标 $y_1, y_2, y_3$ 加倍：
5. $$\int_0^2 \sqrt{1+x^3}\,dx \approx \frac{0.5}{2}\left(1 + 3 + 2(1.0607 + 1.4142 + 2.0917)\right)$$
6. $$= 0.25\left(4 + 2(4.5666)\right) = 0.25(13.133) \approx 3.28$$

**概念自测**

测试你对梯形法则的理解：

1. 用 5 个等宽条带的梯形法则估计积分，需要多少个纵坐标（y 值）？

   - 5
   - 6
   - 10

   *解析:* 正确！$n$ 个条带需要 $n+1$ 个纵坐标，因此 5 个条带需要 6 个 y 值：从 $y_0$ 到 $y_5$。

## 常见错误

- **错误做法:** 计算总面积时忘记在x截处分拆积分
  - 原因: 在整个区间上积分会让负面积抵消正面积，得到的是净面积而非总面积
  - 正确做法: 先找出区间内所有x截距，将积分拆分为多个子区域，再相加各部分的绝对值
- **错误做法:** 假设定积分的值总是等于几何面积
  - 原因: 定积分给出带符号的净面积，即使总面积为正，净面积也可以是零或负数
  - 正确做法: 检查题目表述：如果题目要求面积，指的是总正几何面积
- **错误做法:** 计算定积分时代入$F(a) - F(b)$而非$F(b) - F(a)$
  - 原因: 交换上下限会翻转结果的符号，导致答案错误，通常会得到负面积
  - 正确做法: 始终用原函数在上限的值减去原函数在下限的值
- **错误做法:** 计算总面积时忘记对负的子积分取绝对值
  - 原因: 保留负面积会减小最终总和，导致结果错误
  - 正确做法: 相加前对每个子积分取绝对值，得到总面积

## 速查表

| 概念 | 公式/方法 |
| --- | --- |
| 定积分（微积分基本定理） | $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a), F'(x)=f(x)$ |
| 净面积（积分值） | x轴上方面积减去x轴下方面积 |
| 总几何面积 | Sum of $\left\|\int_{x_i}^{x_{i+1}} f(x) dx\right\|$ for each interval between intercepts |
| x轴上方面积 | $\int_a^b f(x) dx, f(x) \geq 0$ |
| x轴下方面积 | $-\int_a^b f(x) dx, f(x) \leq 0$ |

## 下一步

现在你已经掌握了定积分和曲线下面积，你已经为IB AI HL中所有高级积分应用打下了核心基础。定积分用于计算旋转体体积、函数的平均值，以及建模问题中人口增长或能源使用等累积量。在内部评估和考试中处理实际数据和函数时，理解净面积和总面积的区别对于解读积分结果也至关重要。你现在可以将技能拓展到IB考试中经常出现的更复杂的积分场景了。

- [换元积分法](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-integration-techniques-substitution-and-by/)
- [曲线间面积、旋转体体积](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-area-between-curves-volumes-of/)
- [一阶微分方程：欧拉法](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-first-order-differential-equations-euler/)

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