耦合微分方程与相图

IB 数学应用与解读 HL· U4.16· 12 分钟阅读

1. 二维线性耦合系统的结构★★★★☆HL 专属⏱ 15 min

所有线性齐次二维耦合系统都遵循标准矩阵形式，其中变量x和y的变化率是x和y自身的线性组合。这些系统广泛用于建模相互作用种群、化学反应速率和分区流行病流动。

📘 定义

标准耦合系统形式

\begin{bmatrix} \frac{dx}{dt} \\ \frac{dy}{dt} \end{bmatrix} = A \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}

A是一个常数2×2系数矩阵，完全定义了系统的动态行为

例:

对于两个竞争物种，A可能包含正增长项和负种间相互作用项

📐 例题

将以下耦合系统写成标准矩阵形式：dx/dt = 3x - 2y, dy/dt = x + 4y

1
识别dx/dt方程中x和y的系数
2
它们是3和-2，构成矩阵A的第一行
3
识别dy/dt方程中x和y的系数
4
它们是1和4，构成矩阵A的第二行
5
$A = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$

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以下哪一项是有效的二维线性耦合系统？
- dx/dt = 2xy, dy/dt = x + y
- dx/dt = 3x - y, dy/dt = -x + 2y
- dx/dt = t + x, dy/dt = y
显示答案
dx/dt = 3x - y, dy/dt = -x + 2y —
所有项都是x和y的线性项，不存在t依赖或乘积项

2. 通过特征值对平衡点分类★★★★☆HL 专属⏱ 18 min

🔬 推导

目标:

找到非平凡平衡点的条件

起点:

A \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \end{bmatrix}

1
齐次系统始终存在位于(0,0)的平凡平衡点
2
仅当det(A) = 0时存在非平凡平衡点，否则(0,0)是唯一平衡点
3
通过求解det(A - \lambda I) = 0计算A的特征值

结果:

特征值的符号和类型（实、复、重根）完全定义了平衡点的分类

特征值类型	平衡点分类	稳定性
两个不同的正实数	不稳定结点	所有轨迹向外远离
两个不同的负实数	稳定结点	所有轨迹向内收敛
一正一负两个实数	鞍点	不稳定，仅2条轨迹收敛
实部为正的复数	不稳定螺旋	轨迹向外螺旋
实部为负的复数	稳定螺旋	轨迹向内螺旋
纯虚数	中心点	闭合周期轨道，中性稳定

📐 例题

对系数矩阵为 A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 2 & 1 \end{bmatrix} 的系统，对位于(0,0)的平衡点进行分类

1
求解特征方程 det(A - \lambda I) = 0
2
$(1-\lambda)^2 - 4 = 0 \implies \lambda^2 - 2\lambda -3 =0$
3
因式分解得到特征值 \lambda = 3 和 \lambda = -1
4
一正一负的实特征值意味着这是一个鞍点，不稳定

3. 绘制完整标注的相图★★★★★HL 专属⏱ 20 min

📐 例题

为特征值为-1和-2、特征向量为(1,0)和(0,1)的稳定结点绘制相图

1
绘制x轴和y轴，标记位于(0,0)的平衡点
2
沿x轴和y轴绘制特征向量线，添加指向(0,0)的箭头
3
添加弯曲轨迹，当t \to \infty时趋近于较慢的特征向量（特征值-1，x轴）
4
将平衡点标注为稳定结点，为所有轨迹添加方向箭头

4. 应用模型的相图解读★★★★☆HL 专属⏱ 12 min

对于诸如SIR流行病分区或竞争物种种群之类的现实世界模型，相图让你无需求解完整解析解即可预测长期结果。你可以识别导致种群灭绝、共存或流行病消退的阈值条件。

📐 例题

对于在(200, 150)处有稳定结点的竞争物种模型，解读其长期行为

1
稳定结点意味着所有初始种群值都会收敛到该平衡点
2
这表明两个物种将分别以200和150的稳态种群共存
3
无论初始非零种群数量如何，两个物种都不会灭绝

5. 通过耦合处理二阶微分方程★★★★★HL 专属⏱ 15 min

形如 d²x/dt² = f(x, dx/dt, t) 的二阶微分方程总可以改写为两个耦合的一阶方程组。这样你就能对二阶模型使用相同的数值方法和相图技巧，这也是 IB AI HL Paper 3 的常客，尤其是阻尼振子 d²x/dt² + a dx/dt + bx = 0 这类力学系统。

📘 定义

化为耦合一阶系统

\text{令 } y = \frac{dx}{dt}, \text{ 则 } \frac{dx}{dt} = y, \quad \frac{dy}{dt} = f(x, y, t)

引入一个新变量 y，令其等于一阶导数 dx/dt。这样单个二阶方程就变成了关于 x 和 y 的两个一阶方程，可用数值方法求解或用特征值分析。

例:

对于 \frac{d^2x}{dt^2} + 3\frac{dx}{dt} + 2x = 0，令 y = dx/dt 得到 \frac{dx}{dt} = y 和 \frac{dy}{dt} = -3y - 2x

📐 例题

将 \frac{d^2x}{dt^2} + 4\frac{dx}{dt} + 3x = 0 写成耦合一阶方程组，并写出其系数矩阵。

1
令 y = dx/dt，则第一个方程即为 dx/dt = y
2
将原方程整理为最高阶导数的形式：d²x/dt² = -4(dx/dt) - 3x
3
将 dx/dt 替换为 y、将 d²x/dt² 替换为 dy/dt，得到第二个方程
4
$\frac{dx}{dt} = y, \quad \frac{dy}{dt} = -3x - 4y$
5
写成矩阵形式，系数矩阵为：
6
$A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -3 & -4 \end{bmatrix}$

📐 例题

用步长 h = 0.1 的欧拉法估计 \frac{d^2x}{dt^2} = -x 在 x(0.2) 处的值，已知 x(0) = 1 且 \frac{dx}{dt}(0) = 0。并与精确解 x = \cos t 比较。

1
化为方程组：令 y = dx/dt，则 dx/dt = y 且 dy/dt = -x
2
欧拉法迭代公式：x_{n+1} = x_n + h,y_n 且 y_{n+1} = y_n + h(-x_n)
3
第 1 步 (t = 0 到 0.1)：x_1 = 1 + 0.1(0) = 1, y_1 = 0 + 0.1(-1) = -0.1
4
第 2 步 (t = 0.1 到 0.2)：x_2 = 1 + 0.1(-0.1) = 0.99, y_2 = -0.1 + 0.1(-1) = -0.2
5
$x(0.2) \approx 0.99$
6
精确解给出 \cos(0.2) \approx 0.980，因此欧拉法在此略微高估；减小步长 h 可以降低误差。

6. 常见陷阱

错误做法:

将鞍点分类为不稳定结点

原因:

鞍点有一个正和一个负的特征值，而不是两个正特征值

正确做法:

分类前务必检查两个特征值的符号

错误做法:

在相图中绘制相互交叉的轨迹

原因:

常微分方程的唯一性定理保证不存在两条不同的轨迹可以相交

正确做法:

确保所有轨迹除了在平衡点处外永远不会相遇

错误做法:

为稳定螺旋平衡点添加背离的方向箭头

原因:

复特征值的负实部意味着轨迹必须随时间向内螺旋

正确做法:

添加方向箭头前验证特征值的符号

错误做法:

忘记在相图中标注特征向量线

原因:

IB考试评分标准明确为正确绘制和标注的特征向量线分配分数

正确做法:

在绘制弯曲轨迹之前标记并标注所有特征向量线

错误做法:

将中心点平衡点视为稳定螺旋

原因:

纯虚特征值产生闭合周期轨道，而不是向内螺旋的轨迹

正确做法:

在绘制闭合轨道之前，确认复特征值的实部恰好为零

7. 速查表

特征值条件	平衡点类型	稳定性	轨迹形状
两个不同实数，均为负	稳定结点	渐近稳定	曲线收敛到平衡点，与慢特征向量相切
两个不同实数，均为正	不稳定结点	不稳定	曲线从平衡点向外发散
实数，符号相反	鞍点	不稳定	两条轨迹收敛，其余所有轨迹发散
复数，实部为负	稳定螺旋	渐近稳定	轨迹向内螺旋
复数，实部为正	不稳定螺旋	不稳定	轨迹向外螺旋
纯虚数	中心点	中性稳定	闭合椭圆周期轨道

下一步

掌握线性耦合系统和相图将为你处理在IB AI HL Paper 3习题集中频繁出现的更贴近现实的非线性动态系统打下基础。你将学习分析捕食者-猎物洛特卡-沃尔泰拉模型，该模型产生代表自然种群周期的闭合周期轨道，并通过雅可比矩阵扩展你对非线性平衡点分类的理解。你还将把这些概念与欧拉法等数值微分方程求解方法联系起来，你可以使用这些方法为没有解析闭式解的系统近似轨迹。这些技能在你期末考试占比20%的Paper 3探究部分中权重很高。