# 耦合微分方程与相图

> IB 数学应用与解读 HL · IB Math AI HL
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-coupled-differential-equations-and-phase/

本模块涵盖二维线性耦合微分方程组、通过特征值进行平衡点分类、相图绘制规则，以及种群模型的现实世界解读。

**先修:** [一阶可分离微分方程](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-first-order-separable-de/); [2×2矩阵的特征值与特征向量](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u3-eigenvalues-2x2/)

## 学习目标

- 为现实世界动态系统建立一阶线性耦合微分方程
- 计算特征值以对二维线性系统的平衡点进行分类
- 绘制所有标准系统类别的完整标注相图
- 解读轨迹行为，预测种群和流行病模型的长期结果

## 二维线性耦合系统的结构

所有线性齐次二维耦合系统都遵循标准矩阵形式，其中变量x和y的变化率是x和y自身的线性组合。这些系统广泛用于建模相互作用种群、化学反应速率和分区流行病流动。

**标准耦合系统形式** — A是一个常数2×2系数矩阵，完全定义了系统的动态行为

*记法:* \begin{bmatrix} \frac{dx}{dt} \\ \frac{dy}{dt} \end{bmatrix} = A \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}

*例:* 对于两个竞争物种，A可能包含正增长项和负种间相互作用项

**例题:** 将以下耦合系统写成标准矩阵形式：dx/dt = 3x - 2y, dy/dt = x + 4y

1. 识别dx/dt方程中x和y的系数
2. 它们是3和-2，构成矩阵A的第一行
3. 识别dy/dt方程中x和y的系数
4. 它们是1和4，构成矩阵A的第二行
5. $$A = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$$

**概念自测**

测试你对系统结构的理解

1. 以下哪一项是有效的二维线性耦合系统？

   - dx/dt = 2xy, dy/dt = x + y
   - dx/dt = 3x - y, dy/dt = -x + 2y
   - dx/dt = t + x, dy/dt = y

   *解析:* 所有项都是x和y的线性项，不存在t依赖或乘积项

## 通过特征值对平衡点分类

**推导:** 找到非平凡平衡点的条件

*起点:* A \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}

1. 齐次系统始终存在位于(0,0)的平凡平衡点
2. 仅当det(A) = 0时存在非平凡平衡点，否则(0,0)是唯一平衡点
3. 通过求解det(A - \lambda I) = 0计算A的特征值

*结论:* 特征值的符号和类型（实、复、重根）完全定义了平衡点的分类

| 特征值类型 | 平衡点分类 | 稳定性 |
| --- | --- | --- |
| 两个不同的正实数 | 不稳定结点 | 所有轨迹向外远离 |
| 两个不同的负实数 | 稳定结点 | 所有轨迹向内收敛 |
| 一正一负两个实数 | 鞍点 | 不稳定，仅2条轨迹收敛 |
| 实部为正的复数 | 不稳定螺旋 | 轨迹向外螺旋 |
| 实部为负的复数 | 稳定螺旋 | 轨迹向内螺旋 |
| 纯虚数 | 中心点 | 闭合周期轨道，中性稳定 |

**例题:** 对系数矩阵为 A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} 的系统，对位于(0,0)的平衡点进行分类

1. 求解特征方程 det(A - \lambda I) = 0
2. $$(1-\lambda)^2 - 4 = 0 \implies \lambda^2 - 2\lambda -3 =0$$
3. 因式分解得到特征值 \lambda = 3 和 \lambda = -1
4. 一正一负的实特征值意味着这是一个鞍点，不稳定

## 绘制完整标注的相图

**考试命令词**

IB考试题目对相图任务使用特定的指令术语

- **Sketch the phase portrait** — 你必须包含特征向量线、方向箭头、至少4条样本轨迹，并标注平衡点分类

- **Draw the nullclines** — 标记dx/dt=0和dy/dt=0的线，在这些线上轨迹分别为水平或垂直

> **考试绘图提示**
>
> 始终在每条轨迹上添加方向箭头：对于稳定系统，箭头指向平衡点；对于不稳定系统，箭头背离平衡点

**例题:** 为特征值为-1和-2、特征向量为(1,0)和(0,1)的稳定结点绘制相图

1. 绘制x轴和y轴，标记位于(0,0)的平衡点
2. 沿x轴和y轴绘制特征向量线，添加指向(0,0)的箭头
3. 添加弯曲轨迹，当t \to \infty时趋近于较慢的特征向量（特征值-1，x轴）
4. 将平衡点标注为稳定结点，为所有轨迹添加方向箭头

## 应用模型的相图解读

对于诸如SIR流行病分区或竞争物种种群之类的现实世界模型，相图让你无需求解完整解析解即可预测长期结果。你可以识别导致种群灭绝、共存或流行病消退的阈值条件。

**例题:** 对于在(200, 150)处有稳定结点的竞争物种模型，解读其长期行为

1. 稳定结点意味着所有初始种群值都会收敛到该平衡点
2. 这表明两个物种将分别以200和150的稳态种群共存
3. 无论初始非零种群数量如何，两个物种都不会灭绝

## 通过耦合处理二阶微分方程

形如 d²x/dt² = f(x, dx/dt, t) 的二阶微分方程总可以改写为两个耦合的一阶方程组。这样你就能对二阶模型使用相同的数值方法和相图技巧，这也是 IB AI HL Paper 3 的常客，尤其是阻尼振子 d²x/dt² + a dx/dt + bx = 0 这类力学系统。

**化为耦合一阶系统** — 引入一个新变量 y，令其等于一阶导数 dx/dt。这样单个二阶方程就变成了关于 x 和 y 的两个一阶方程，可用数值方法求解或用特征值分析。

*记法:* \text{令 } y = \frac{dx}{dt}, \text{ 则 } \frac{dx}{dt} = y, \quad \frac{dy}{dt} = f(x, y, t)

*例:* 对于 \frac{d^2x}{dt^2} + 3\frac{dx}{dt} + 2x = 0，令 y = dx/dt 得到 \frac{dx}{dt} = y 和 \frac{dy}{dt} = -3y - 2x

**例题:** 将 \frac{d^2x}{dt^2} + 4\frac{dx}{dt} + 3x = 0 写成耦合一阶方程组，并写出其系数矩阵。

1. 令 y = dx/dt，则第一个方程即为 dx/dt = y
2. 将原方程整理为最高阶导数的形式：d²x/dt² = -4(dx/dt) - 3x
3. 将 dx/dt 替换为 y、将 d²x/dt² 替换为 dy/dt，得到第二个方程
4. $$\frac{dx}{dt} = y, \quad \frac{dy}{dt} = -3x - 4y$$
5. 写成矩阵形式，系数矩阵为：
6. $$A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -3 & -4 \end{bmatrix}$$

> **欧拉法与精确解**
>
> 一旦写成耦合系统，就可以在 GDC 上用欧拉法数值求解 d²x/dt² + a dx/dt + bx = 0，或通过矩阵 [[0, 1], [-b, -a]] 的特征值判断其长期行为。

**例题:** 用步长 h = 0.1 的欧拉法估计 \frac{d^2x}{dt^2} = -x 在 x(0.2) 处的值，已知 x(0) = 1 且 \frac{dx}{dt}(0) = 0。并与精确解 x = \cos t 比较。

1. 化为方程组：令 y = dx/dt，则 dx/dt = y 且 dy/dt = -x
2. 欧拉法迭代公式：x_{n+1} = x_n + h\,y_n 且 y_{n+1} = y_n + h(-x_n)
3. 第 1 步 (t = 0 到 0.1)：x_1 = 1 + 0.1(0) = 1, y_1 = 0 + 0.1(-1) = -0.1
4. 第 2 步 (t = 0.1 到 0.2)：x_2 = 1 + 0.1(-0.1) = 0.99, y_2 = -0.1 + 0.1(-1) = -0.2
5. $$x(0.2) \approx 0.99$$
6. 精确解给出 \cos(0.2) \approx 0.980，因此欧拉法在此略微高估；减小步长 h 可以降低误差。

## 常见错误

- **错误做法:** 将鞍点分类为不稳定结点
  - 原因: 鞍点有一个正和一个负的特征值，而不是两个正特征值
  - 正确做法: 分类前务必检查两个特征值的符号
- **错误做法:** 在相图中绘制相互交叉的轨迹
  - 原因: 常微分方程的唯一性定理保证不存在两条不同的轨迹可以相交
  - 正确做法: 确保所有轨迹除了在平衡点处外永远不会相遇
- **错误做法:** 为稳定螺旋平衡点添加背离的方向箭头
  - 原因: 复特征值的负实部意味着轨迹必须随时间向内螺旋
  - 正确做法: 添加方向箭头前验证特征值的符号
- **错误做法:** 忘记在相图中标注特征向量线
  - 原因: IB考试评分标准明确为正确绘制和标注的特征向量线分配分数
  - 正确做法: 在绘制弯曲轨迹之前标记并标注所有特征向量线
- **错误做法:** 将中心点平衡点视为稳定螺旋
  - 原因: 纯虚特征值产生闭合周期轨道，而不是向内螺旋的轨迹
  - 正确做法: 在绘制闭合轨道之前，确认复特征值的实部恰好为零

## 速查表

| 特征值条件 | 平衡点类型 | 稳定性 | 轨迹形状 |
| --- | --- | --- | --- |
| 两个不同实数，均为负 | 稳定结点 | 渐近稳定 | 曲线收敛到平衡点，与慢特征向量相切 |
| 两个不同实数，均为正 | 不稳定结点 | 不稳定 | 曲线从平衡点向外发散 |
| 实数，符号相反 | 鞍点 | 不稳定 | 两条轨迹收敛，其余所有轨迹发散 |
| 复数，实部为负 | 稳定螺旋 | 渐近稳定 | 轨迹向内螺旋 |
| 复数，实部为正 | 不稳定螺旋 | 不稳定 | 轨迹向外螺旋 |
| 纯虚数 | 中心点 | 中性稳定 | 闭合椭圆周期轨道 |

## 下一步

掌握线性耦合系统和相图将为你处理在IB AI HL Paper 3习题集中频繁出现的更贴近现实的非线性动态系统打下基础。你将学习分析捕食者-猎物洛特卡-沃尔泰拉模型，该模型产生代表自然种群周期的闭合周期轨道，并通过雅可比矩阵扩展你对非线性平衡点分类的理解。你还将把这些概念与欧拉法等数值微分方程求解方法联系起来，你可以使用这些方法为没有解析闭式解的系统近似轨迹。这些技能在你期末考试占比20%的Paper 3探究部分中权重很高。

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