曲线间面积、旋转体体积

IB 数学：应用与解释 HL· 40 分钟阅读

1. 曲线与坐标轴之间的面积★★☆☆☆⏱ 15 min

📘 定义

曲线与坐标轴之间的面积

\text{Area} = \int_a^b |f(x)| dx

对于连续函数 $y = f (x)$ ，曲线、x轴、 $x = a$ 和 $x = b$ 之间的总面积是 $f (x)$ 的绝对值在区间上的积分。如果 $f (x)$ 穿过x轴，需要在截点处拆分积分。

定积分给出的是净带符号面积，x轴下方的区域计为负值。总面积（考试题目几乎总是要求的量）需要将每个正负区域的绝对值相加。

📐 例题

求由 $f (x) = x^{2} - 4$ 、x轴、 $x = 0$ 和 $x = 3$ 围成的总面积。

1
求区间内的x截距：
2
$x^2 - 4 = 0 \implies x = 2 \quad (x=-2 \text{ is outside } [0,3])$
3
$f (x)$ 在 $[0, 2]$ 上为负，在 $[2, 3]$ 上为正，因此拆分积分后相加绝对值：
4
面积 = $\int_{0}^{2} (x^{2} - 4) d x + \int_{2}^{3} (x^{2} - 4) d x$
5
计算第一个积分：
6
$\int_0^2 (x^2 - 4) dx = \left[\frac{x^3}{3} - 4x\right]_0^2 = \frac{8}{3} - 8 = -\frac{16}{3}$
7
取绝对值得 $\frac{16}{3}$ 。计算第二个积分：
8
$\int_2^3 (x^2 - 4) dx = \left[\frac{x^3}{3} - 4x\right]_2^3 = (-3) - \left(-\frac{16}{3}\right) = \frac{7}{3}$
9
相加得到总面积：
10
$\frac{16}{3} + \frac{7}{3} = \frac{23}{3} \approx 7.67 \text{ 平方单位}$

2. 两条曲线之间的面积★★★☆☆⏱ 20 min

📘 定义

两条曲线之间的面积

\text{Area} = \int_a^b \left(f_{\text{upper}}(x) - f_{\text{lower}}(x)\right) dx

对于两个连续函数，从 $x = a$ 到 $x = b$ 之间的总面积是区间上上方函数减去下方函数的积分。如果曲线相交，需要在交点处拆分积分。

📐 例题

求由 $y = x^{2}$ 和 $y = x + 2$ 围成的总面积。

1
令两个函数相等，求交点：
2
$x^2 = x + 2 \implies x^2 - x - 2 = 0 \implies (x-2)(x+1) = 0$
3
交点在 $x = - 1$ 和 $x = 2$ ，因此我们的积分区间是 $[- 1, 2]$ 。
4
测试点 $x = 0$ ： $y = x + 2 = 2$ ， $y = x^{2} = 0$ ，因此 $x + 2$ 是上方函数。
5
建立面积积分：
6
$\text{Area} = \int_{-1}^2 \left((x+2) - x^2\right) dx$
7
逐项积分：
8
$\int (x + 2 - x^2) dx = \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}$
9
代入上下限计算：
10
$\left(\frac{4}{2} + 4 - \frac{8}{3}\right) - \left(\frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3}\right) = \frac{10}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right) = \frac{27}{6} = 4.5$
11
总面积是 $4.5$ 平方单位。

3. 绕x轴旋转的旋转体体积★★★☆☆⏱ 25 min

✓ 计算器

📘 定义

圆盘法与垫圈法

Disk: V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx, Washer: V = \pi \int_a^b \left([f(x)]^2 - [g(x)]^2\right) dx

当区域绕x轴旋转时，体积通过对无限薄的圆盘求和得到。圆盘法适用于曲线与x轴之间的区域；垫圈法用于两条曲线之间的区域，减去内部孔洞的体积。

该公式源自圆的面积：x位置处每个圆盘的半径等于 $f (x)$ ，因此横截面积为 $π r^{2} = π [f (x)]^{2}$ 。沿x轴积分得到总体积。

📐 例题

求由 $y = x + 1$ 、x轴、 $x = 0$ 和 $x = 2$ 围成的区域绕x轴旋转360°形成的立体体积。

1
对于曲线与x轴之间的区域，我们使用圆盘法：
2
$V = \pi \int_0^2 [f(x)]^2 dx = \pi \int_0^2 (x+1)^2 dx$
3
展开被积函数：
4
$(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$
5
逐项积分：
6
$\int_0^2 (x^2 + 2x +1) dx = \left[\frac{x^3}{3} + x^2 + x\right]_0^2$
7
代入上下限计算：
8
$\left(\frac{8}{3} + 4 + 2\right) - 0 = \frac{26}{3}$
9
乘以 $π$ 得到最终体积：
10
$V = \frac{26}{3}\pi \approx 27.2 \text{ 立方单位}$

✓ 快速检测

当 $a \leq x \leq b$ 上满足 $f (x) > g (x) > 0$ ， $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 之间的区域绕x轴旋转360°，选择正确的体积公式：

哪个公式是正确的？
- A: $π \int_{a}^{b} (f (x) - g (x))^{2} d x$
- B: $π \int_{a}^{b} (f (x)^{2} - g (x)^{2}) d x$
- C: $π \int_{a}^{b} f (x)^{2} d x - π \int_{b}^{a} g (x)^{2} d x$
- D: $\int_{a}^{b} π f (x)^{2} g (x)^{2} d x$
显示答案
B —
选项B是正确的垫圈法。它从外立体（半径 $f (x)$ ）的体积中减去内部孔洞（半径 $g (x)$ ）的体积。选项A错误，因为它对半径差求平方，而不是对半径平方求差。

4. 常见陷阱

错误做法:

计算面积时，忘记拆分积分并对负区域取绝对值。

原因:

定积分给出的是净带符号面积，其值远小于总面积（如果区域正负抵消甚至会得到零）。

正确做法:

找出上下限之间所有x截距或交点，拆分积分，将每个子积分的绝对值相加。

错误做法:

计算曲线间面积时颠倒了上下函数，导致得到负数结果。

原因:

面积始终为正；即使积分计算正确，阅卷官也会对负的最终答案扣分。

正确做法:

用测试点确认哪个函数更大，用上方减下方，或者对最终结果取绝对值。

错误做法:

旋转体体积公式中忘记乘以 $π$ 。

原因:

公式源自圆的面积（ $A = π r^{2}$ ），因此省略 $π$ 会得到错误答案。

正确做法:

建立体积积分时，务必明确写出 $π$ 因子。

错误做法:

绕y轴旋转时使用了绕x轴旋转的公式。

原因:

The formula $V = π \int [f (x)]^{2} d x$ only applies to rotation around the x-axis.

正确做法:

If rotating around the y-axis, rearrange your function to $x = f (y)$ and integrate over y instead.

错误做法:

曲线在上下限之间相交时没有拆分积分。

原因:

如果上下函数交换了位置，积分会得到净面积而不是总围成面积。

正确做法:

Find all intersection points in your interval before setting up the integral, split into sub-regions.

5. 速查表

概念	公式	注意事项
$y = f (x)$ 与x轴之间的面积（ $a \leq x \leq b$ ）	$\int_{a}^{b} ∣ f (x) ∣ d x$	在x截点处拆分，相加各绝对值
$y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 之间的面积（ $a \leq x \leq b$ ）	$\int_{a}^{b} ∣ f (x) - g (x) ∣ d x$	在交点处拆分，上方函数减下方函数
体积（圆盘法，绕x轴旋转）	$V = π \int_{a}^{b} [f (x)]^{2} d x$	曲线与x轴之间的区域
体积（垫圈法，绕x轴旋转）	$V = π \int_{a}^{b} ([f]^{2} - [g]^{2}) d x$	$f$ = 外半径， $g$ = 内半径

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2021 · 2
两条指数曲线之间的面积
2022 · 1
三次函数的旋转体体积
2023 · 2
相交曲线之间的总面积

下一步

曲线间面积和旋转体体积是IB AI HL试卷1和试卷2中定期考查的核心积分应用主题。它们经常与其他主题结合考查：例如，题目可能要求你求二次函数与指数函数的交点，然后计算围成区域的旋转体体积，或者在运动学问题中求速度曲线与时间轴之间的面积。掌握这些技巧能为进一步的积分应用（包括求解微分方程和动态系统建模）打下坚实基础。