# 曲线间面积、旋转体体积

> IB 数学：应用与解释 HL · 微积分
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-area-between-curves-volumes-of/

本模块涵盖IB AI HL定积分的核心应用：计算一条或多条曲线围成区域的面积，以及求区域绕x轴旋转形成的立体体积。

**先修:** [定积分](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-definite-integration/); 求函数的交点

## 学习目标

- 计算曲线与坐标轴之间的面积
- 求两条相交曲线之间的总面积
- 使用圆盘法/垫圈法计算绕x轴旋转的旋转体体积
- 识别并避开面积/体积问题中常见的考试陷阱

## 曲线与坐标轴之间的面积

**曲线与坐标轴之间的面积** — 对于连续函数$y=f(x)$，曲线、x轴、$x=a$和$x=b$之间的总面积是$f(x)$的绝对值在区间上的积分。如果$f(x)$穿过x轴，需要在截点处拆分积分。

*记法:* \text{Area} = \int_a^b |f(x)| dx

定积分给出的是*净带符号面积*，x轴下方的区域计为负值。总面积（考试题目几乎总是要求的量）需要将每个正负区域的绝对值相加。

**例题:** 求由$f(x) = x^2 - 4$、x轴、$x=0$和$x=3$围成的总面积。

1. 求区间内的x截距：
2. $$x^2 - 4 = 0 \implies x = 2 \quad (x=-2 \text{ is outside } [0,3])$$
3. $f(x)$在$[0,2]$上为负，在$[2,3]$上为正，因此拆分积分后相加绝对值：
4. 面积 = $\left|\int_0^2 (x^2 - 4) dx\right| + \left|\int_2^3 (x^2 - 4) dx\right|$
5. 计算第一个积分：
6. $$\int_0^2 (x^2 - 4) dx = \left[\frac{x^3}{3} - 4x\right]_0^2 = \frac{8}{3} - 8 = -\frac{16}{3}$$
7. 取绝对值得$\frac{16}{3}$。计算第二个积分：
8. $$\int_2^3 (x^2 - 4) dx = \left[\frac{x^3}{3} - 4x\right]_2^3 = (-3) - \left(-\frac{16}{3}\right) = \frac{7}{3}$$
9. 相加得到总面积：
10. $$\frac{16}{3} + \frac{7}{3} = \frac{23}{3} \approx 7.67 \text{ 平方单位}$$

## 两条曲线之间的面积

**两条曲线之间的面积** — 对于两个连续函数，从$x=a$到$x=b$之间的总面积是区间上上方函数减去下方函数的积分。如果曲线相交，需要在交点处拆分积分。

*记法:* \text{Area} = \int_a^b \left(f_{\text{upper}}(x) - f_{\text{lower}}(x)\right) dx

> **tip**
>
> 务必在两个交点之间取一个测试点，确认哪个函数在上方。永远不要默认写在前面的函数就是上方函数。

**例题:** 求由$y=x^2$和$y = x + 2$围成的总面积。

1. 令两个函数相等，求交点：
2. $$x^2 = x + 2 \implies x^2 - x - 2 = 0 \implies (x-2)(x+1) = 0$$
3. 交点在$x=-1$和$x=2$，因此我们的积分区间是$[-1, 2]$。
4. 测试点$x=0$：$y=x+2 = 2$，$y=x^2=0$，因此$x+2$是上方函数。
5. 建立面积积分：
6. $$\text{Area} = \int_{-1}^2 \left((x+2) - x^2\right) dx$$
7. 逐项积分：
8. $$\int (x + 2 - x^2) dx = \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}$$
9. 代入上下限计算：
10. $$\left(\frac{4}{2} + 4 - \frac{8}{3}\right) - \left(\frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3}\right) = \frac{10}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right) = \frac{27}{6} = 4.5$$
11. 总面积是$4.5$平方单位。

## 绕x轴旋转的旋转体体积

**圆盘法与垫圈法** — 当区域绕x轴旋转时，体积通过对无限薄的圆盘求和得到。圆盘法适用于曲线与x轴之间的区域；垫圈法用于两条曲线之间的区域，减去内部孔洞的体积。

*记法:* Disk: V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx, Washer: V = \pi \int_a^b \left([f(x)]^2 - [g(x)]^2\right) dx

该公式源自圆的面积：x位置处每个圆盘的半径等于$f(x)$，因此横截面积为$\pi r^2 = \pi [f(x)]^2$。沿x轴积分得到总体积。

**例题:** 求由$y = x+1$、x轴、$x=0$和$x=2$围成的区域绕x轴旋转360°形成的立体体积。

1. 对于曲线与x轴之间的区域，我们使用圆盘法：
2. $$V = \pi \int_0^2 [f(x)]^2 dx = \pi \int_0^2 (x+1)^2 dx$$
3. 展开被积函数：
4. $$(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$$
5. 逐项积分：
6. $$\int_0^2 (x^2 + 2x +1) dx = \left[\frac{x^3}{3} + x^2 + x\right]_0^2$$
7. 代入上下限计算：
8. $$\left(\frac{8}{3} + 4 + 2\right) - 0 = \frac{26}{3}$$
9. 乘以$\pi$得到最终体积：
10. $$V = \frac{26}{3}\pi \approx 27.2 \text{ 立方单位}$$

**概念自测**

当$a \leq x \leq b$上满足$f(x) > g(x) > 0$，$y=f(x)$和$y=g(x)$之间的区域绕x轴旋转360°，选择正确的体积公式：

1. 哪个公式是正确的？

   - A: $\pi \int_a^b (f(x) - g(x))^2 dx$
   - B: $\pi \int_a^b (f(x)^2 - g(x)^2) dx$
   - C: $\pi \int_a^b f(x)^2 dx - \pi \int_b^a g(x)^2 dx$
   - D: $\int_a^b \pi f(x)^2 g(x)^2 dx$

   *解析:* 选项B是正确的垫圈法。它从外立体（半径$f(x)$）的体积中减去内部孔洞（半径$g(x)$）的体积。选项A错误，因为它对半径差求平方，而不是对半径平方求差。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 计算面积时，忘记拆分积分并对负区域取绝对值。
  - 原因: 定积分给出的是净带符号面积，其值远小于总面积（如果区域正负抵消甚至会得到零）。
  - 正确做法: 找出上下限之间所有x截距或交点，拆分积分，将每个子积分的绝对值相加。
- **错误做法:** 计算曲线间面积时颠倒了上下函数，导致得到负数结果。
  - 原因: 面积始终为正；即使积分计算正确，阅卷官也会对负的最终答案扣分。
  - 正确做法: 用测试点确认哪个函数更大，用上方减下方，或者对最终结果取绝对值。
- **错误做法:** 旋转体体积公式中忘记乘以$\pi$。
  - 原因: 公式源自圆的面积（$A = \pi r^2$），因此省略$\pi$会得到错误答案。
  - 正确做法: 建立体积积分时，务必明确写出$\pi$因子。
- **错误做法:** 绕y轴旋转时使用了绕x轴旋转的公式。
  - 原因: The formula $V = \pi \int [f(x)]^2 dx$ only applies to rotation around the x-axis.
  - 正确做法: If rotating around the y-axis, rearrange your function to $x = f(y)$ and integrate over y instead.
- **错误做法:** 曲线在上下限之间相交时没有拆分积分。
  - 原因: 如果上下函数交换了位置，积分会得到净面积而不是总围成面积。
  - 正确做法: Find all intersection points in your interval before setting up the integral, split into sub-regions.

## 速查表

| 概念 | 公式 | 注意事项 |
| --- | --- | --- |
| $y=f(x)$与x轴之间的面积（$a \leq x \leq b$） | $\int_a^b \|f(x)\| dx$ | 在x截点处拆分，相加各绝对值 |
| $y=f(x)$与$y=g(x)$之间的面积（$a \leq x \leq b$） | $\int_a^b \|f(x)-g(x)\| dx$ | 在交点处拆分，上方函数减下方函数 |
| 体积（圆盘法，绕x轴旋转） | $V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx$ | 曲线与x轴之间的区域 |
| 体积（垫圈法，绕x轴旋转） | $V = \pi \int_a^b ([f]^2 - [g]^2) dx$ | $f$ = 外半径，$g$ = 内半径 |

## 下一步

曲线间面积和旋转体体积是IB AI HL试卷1和试卷2中定期考查的核心积分应用主题。它们经常与其他主题结合考查：例如，题目可能要求你求二次函数与指数函数的交点，然后计算围成区域的旋转体体积，或者在运动学问题中求速度曲线与时间轴之间的面积。掌握这些技巧能为进一步的积分应用（包括求解微分方程和动态系统建模）打下坚实基础。

- [一阶微分方程：欧拉法](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-first-order-differential-equations-euler/)
- [微分方程的分离变量法](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-separation-of-variables-for-differential/)
- [增长、衰减和逻辑模型的微分方程](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-differential-equations-for-growth-decay/)

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