原函数与不定积分

IB 数学应用与解释 HL· 5 分钟阅读

1. 原函数是求导的逆运算★★☆☆☆⏱ 15 min

求导计算函数的变化率，积分则是这一过程的逆操作。如果 $F^{'} (x) = f (x)$ ，那么 $F (x)$ 就是 $f (x)$ 的一个原函数。 $f (x)$ 的所有原函数都可以写成 $F (x) + C$ 的形式，其中 $C$ 是任意实数，称为积分常数。

📘 定义

原函数

$F (x) + C, C \in R$

若对区间内所有 $x$ 都满足 $F^{'} (x) = f (x)$ ，则函数 $F (x)$ 是 $f (x)$ 在该区间上的一个原函数。

📐 例题

验证 $F (x) = x^{3} + 2 x + 5$ 是 $f (x) = 3 x^{2} + 2$ 的一个原函数。

1
对 $F (x)$ 按项关于 $x$ 求导：
2
$\frac{d}{dx}\left(x^3 + 2x + 5\right) = 3x^2 + 2 + 0$
3
$F (x)$ 的导数与原函数 $f (x)$ 一致，因此 $F (x)$ 是一个原函数。常数 $+ 5$ 只是任意积分常数 $C$ 的一个具体取值。

Exam tip:

不定积分结果末尾遗漏 $+ C$ 几乎总会被扣掉整一分，这是考试中最常见的错误之一。

2. 标准积分法则★★★☆☆⏱ 20 min

我们通过反转常见求导法则得到积分法则。下表列出了IB AI HL要求掌握的所有不定积分标准法则：

函数 $f (x)$	不定积分 $\int f (x) d x$
$x^{n} (n \neq = - 1)$	$\frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$
$\frac{1}{x} = x^{- 1}$	$ln ∣ x ∣ + C$
$e^{k x}$	$\frac{1}{k} e^{k x} + C$
$sin (k x)$	$- \frac{1}{k} cos (k x) + C$
$cos (k x)$	$\frac{1}{k} sin (k x) + C$
$sec^{2} (k x)$	$\frac{1}{k} tan (k x) + C$

📐 例题

计算 $\int (4 x^{3} - 2 sin 2 x + \frac{3}{x}) d x$ 。

1
使用标准法则对每一项分别积分：
2
第一项（幂函数法则）：
3
$\int 4x^3 dx = 4 \cdot \frac{x^4}{4} = x^4$
4
第二项（三角函数法则）：
5
$\int -2\sin 2x dx = -2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\cos 2x\right) = \cos 2x$
6
第三项（倒数法则）：
7
$\int \frac{3}{x} dx = 3\ln|x|$
8
添加积分常数得到最终答案：
9
$\int \left(4x^3 - 2\sin 2x + \frac{3}{x}\right) dx = x^4 + \cos 2x + 3\ln|x| + C$

3. 确定积分常数★★★☆☆⏱ 20 min

对于大多数实际应用问题，我们会得到称为初始条件的额外信息，用来确定 $C$ 的具体取值，而不是将其保留为任意常数。这样我们就能得到满足给定条件的唯一特解。

📘 定义

初值问题

已知函数的导数和函数在给定点的取值，要求得到特定原函数的问题。

📐 例题

某曲线的导数为 $\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} - 2 x$ ，且当 $x = 2$ 时 $y = 4$ 。求该曲线的方程。

1
先求出一般不定积分（保留 $C$ ）：
2
$y = \int (3x^2 - 2x) dx = x^3 - x^2 + C$
3
代入初始条件 $x = 2, y = 4$ 求解 $C$ ：
4
$4 = (2)^3 - (2)^2 + C \implies 4 = 8 - 4 + C \implies C = 0$
5
回代 $C$ 得到最终特解：
6
$y = x^3 - x^2$

✓ 快速检测

检验你的理解：

若 $\int 2 x d x = x^{2} + C$ ，且当 $x = 3$ 时原函数值为 10， $C$ 的值是多少？
- 1
- -1
- 10
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显示答案
1 —
代入 $x = 3$ 和原函数值 = 10： $10 = 3^{2} + C = 9 + C$ ，因此 $C = 10 - 9 = - 1$ 。

4. 常见陷阱

错误做法:

不定积分结果末尾忘记添加积分常数 $+ C$ 。

原因:

阅卷老师几乎总会给 $C$ 分配 1 分，这是很容易避免的低级错误。

正确做法:

永远在每个不定积分结果末尾添加 $+ C$ 。

错误做法:

积分 $sin (k x), e^{k x}$ 和其他复合标准函数时，忘记添加 $\frac{1}{k}$ 缩放系数。

原因:

从求导转换到积分时，缩放系数是反过来的，很容易弄混。

正确做法:

总是通过对结果求导，验证你能否得到原函数，以此检查答案。

错误做法:

求 $\frac{1}{x}$ 的积分时，写 $ln x$ 而不是 $ln ∣ x ∣$ ，遗漏绝对值符号。

原因:

$ln x$ 仅对正 $x$ 有定义，但 $\frac{1}{x}$ 对负 $x$ 也存在原函数。

正确做法:

除非题目明确限制 $x > 0$ ，否则永远保留绝对值符号。

错误做法:

使用幂法则 $\frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$ 积分 $x^{- 1} = \frac{1}{x}$ 。

原因:

当 $n = - 1$ 时幂法则不成立，因为会出现除以零的未定义情况。

正确做法:

记住 $\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C$ ，这是一个特殊情况。

5. 速查表

$f (x)$	$\int f (x) d x$
$x^{n} (n \neq = - 1)$	$\frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$
$\frac{1}{x}$	$ln ∣ x ∣ + C$
$e^{k x}$	$\frac{1}{k} e^{k x} + C$
$sin (k x)$	$- \frac{1}{k} cos (k x) + C$
$cos (k x)$	$\frac{1}{k} sin (k x) + C$
一般法则：若 $F^{'} (x) = f (x)$	$\int f (x) d x = F (x) + C$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

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三角函数的原函数

下一步

掌握原函数和不定积分是IB AI HL所有后续积分主题的基础。你会用这些核心技能求解定积分，从而计算曲线下面积和随时间累积的物理量。不定积分也是求解微分方程的基础，而微分方程被广泛用于建模现实世界的增长、衰减和运动问题，这些都是AI HL考试中占比很高的应用类问题。现在熟练掌握基础原函数法则，会让你后续学习更高级的积分技巧轻松很多。