# 原函数与不定积分

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> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-antiderivatives-and-indefinite-integration/

本子主题将不定积分介绍为求导的逆运算，讲解标准函数原函数的求解法则，并解释如何为初值问题确定积分常数。

**先修:** [标准函数的基础求导](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-differentiation-of-standard-functions/)

## 学习目标

- 认识求导与积分是互逆运算
- 计算常见标准函数的原函数
- 根据初始条件确定积分常数
- 为基础应用变化率问题建立不定积分模型

## 原函数是求导的逆运算

求导计算函数的变化率，积分则是这一过程的逆操作。如果 $F'(x) = f(x)$，那么 $F(x)$ 就是 $f(x)$ 的一个原函数。$f(x)$ 的*所有*原函数都可以写成 $F(x) + C$ 的形式，其中 $C$ 是任意实数，称为**积分常数**。

**原函数** — 若对区间内所有 $x$ 都满足 $F'(x) = f(x)$，则函数 $F(x)$ 是 $f(x)$ 在该区间上的一个原函数。

*记法:* $F(x) + C, C \in \mathbb{R}$

**例题:** 验证 $F(x) = x^3 + 2x + 5$ 是 $f(x) = 3x^2 + 2$ 的一个原函数。

1. 对 $F(x)$ 按项关于 $x$ 求导：
2. $$\frac{d}{dx}\left(x^3 + 2x + 5\right) = 3x^2 + 2 + 0$$
3. $F(x)$ 的导数与原函数 $f(x)$ 一致，因此 $F(x)$ 是一个原函数。常数 $+5$ 只是任意积分常数 $C$ 的一个具体取值。

> **tip**
>
> 你始终可以通过对结果求导来验证积分是否正确：如果求导后得到原函数，那么你的原函数就是正确的。

> **考试提示:** 不定积分结果末尾遗漏 $+C$ 几乎总会被扣掉整一分，这是考试中最常见的错误之一。

## 标准积分法则

我们通过反转常见求导法则得到积分法则。下表列出了IB AI HL要求掌握的所有不定积分标准法则：

| 函数 $f(x)$ | 不定积分 $\int f(x) dx$ |
| --- | --- |
| $x^n \ (n \neq -1)$ | $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ |
| $\frac{1}{x} = x^{-1}$ | $\ln\|x\| + C$ |
| $e^{kx}$ | $\frac{1}{k}e^{kx} + C$ |
| $\sin(kx)$ | $-\frac{1}{k}\cos(kx) + C$ |
| $\cos(kx)$ | $\frac{1}{k}\sin(kx) + C$ |
| $\sec^2(kx)$ | $\frac{1}{k}\tan(kx) + C$ |

**例题:** 计算 $\int \left(4x^3 - 2\sin 2x + \frac{3}{x}\right) dx$。

1. 使用标准法则对每一项分别积分：
2. 第一项（幂函数法则）：
3. $$\int 4x^3 dx = 4 \cdot \frac{x^4}{4} = x^4$$
4. 第二项（三角函数法则）：
5. $$\int -2\sin 2x dx = -2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\cos 2x\right) = \cos 2x$$
6. 第三项（倒数法则）：
7. $$\int \frac{3}{x} dx = 3\ln|x|$$
8. 添加积分常数得到最终答案：
9. $$\int \left(4x^3 - 2\sin 2x + \frac{3}{x}\right) dx = x^4 + \cos 2x + 3\ln|x| + C$$

> **warning**
>
> 对于 $\sin(kx)$ 这类复合标准函数，永远不要忘记系数 $\frac{1}{k}$。很容易在这里和求导的系数弄混。

## 确定积分常数

对于大多数实际应用问题，我们会得到称为*初始条件*的额外信息，用来确定 $C$ 的具体取值，而不是将其保留为任意常数。这样我们就能得到满足给定条件的唯一特解。

**初值问题** — 已知函数的导数和函数在给定点的取值，要求得到特定原函数的问题。

**例题:** 某曲线的导数为 $\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 2x$，且当 $x = 2$ 时 $y = 4$。求该曲线的方程。

1. 先求出一般不定积分（保留 $C$）：
2. $$y = \int (3x^2 - 2x) dx = x^3 - x^2 + C$$
3. 代入初始条件 $x=2, y=4$ 求解 $C$：
4. $$4 = (2)^3 - (2)^2 + C \implies 4 = 8 - 4 + C \implies C = 0$$
5. 回代 $C$ 得到最终特解：
6. $$y = x^3 - x^2$$

**概念自测**

检验你的理解：

1. 若 $\int 2x dx = x^2 + C$，且当 $x=3$ 时原函数值为 10，$C$ 的值是多少？

   - 1
   - -1
   - 10
   - 19

   *答案:* -1

   *解析:* 代入 $x=3$ 和原函数值 = 10： $10 = 3^2 + C = 9 + C$，因此 $C = 10 - 9 = -1$。

## 常见错误

- **错误做法:** 不定积分结果末尾忘记添加积分常数 $+C$。
  - 原因: 阅卷老师几乎总会给 $C$ 分配 1 分，这是很容易避免的低级错误。
  - 正确做法: 永远在每个不定积分结果末尾添加 $+C$。
- **错误做法:** 积分 $\sin(kx), e^{kx}$ 和其他复合标准函数时，忘记添加 $\frac{1}{k}$ 缩放系数。
  - 原因: 从求导转换到积分时，缩放系数是反过来的，很容易弄混。
  - 正确做法: 总是通过对结果求导，验证你能否得到原函数，以此检查答案。
- **错误做法:** 求 $\frac{1}{x}$ 的积分时，写 $\ln x$ 而不是 $\ln|x|$，遗漏绝对值符号。
  - 原因: $\ln x$ 仅对正 $x$ 有定义，但 $\frac{1}{x}$ 对负 $x$ 也存在原函数。
  - 正确做法: 除非题目明确限制 $x > 0$，否则永远保留绝对值符号。
- **错误做法:** 使用幂法则 $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ 积分 $x^{-1} = \frac{1}{x}$。
  - 原因: 当 $n=-1$ 时幂法则不成立，因为会出现除以零的未定义情况。
  - 正确做法: 记住 $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$，这是一个特殊情况。

## 速查表

| $f(x)$ | $\int f(x) dx$ |
| --- | --- |
| $x^n (n \neq -1)$ | $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ |
| $\frac{1}{x}$ | $\ln\|x\| + C$ |
| $e^{kx}$ | $\frac{1}{k}e^{kx} + C$ |
| $\sin(kx)$ | $-\frac{1}{k}\cos(kx) + C$ |
| $\cos(kx)$ | $\frac{1}{k}\sin(kx) + C$ |
| 一般法则：若 $F'(x) = f(x)$ | $\int f(x) dx = F(x) + C$ |

## 下一步

掌握原函数和不定积分是IB AI HL所有后续积分主题的基础。你会用这些核心技能求解定积分，从而计算曲线下面积和随时间累积的物理量。不定积分也是求解微分方程的基础，而微分方程被广泛用于建模现实世界的增长、衰减和运动问题，这些都是AI HL考试中占比很高的应用类问题。现在熟练掌握基础原函数法则，会让你后续学习更高级的积分技巧轻松很多。

- [定积分与曲线下面积](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-definite-integrals-and-area-under/)
- [换元积分法](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-integration-techniques-substitution-and-by/)
- [曲线间面积、旋转体体积](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-area-between-curves-volumes-of/)

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