Voronoi图：应用问题

IB 数学：应用与解释 HL· Unit 3: Geometry and trigonometry, Voronoi diagrams· 15 分钟阅读

1. 新设施的最优选址★★★☆☆⏱ 5 min

Voronoi图的一项核心应用是寻找新设施的最优位置，使得新设施到现有竞争设施的最小距离最大化。这能最大化新设施的潜在客户群，减少与现有服务的重叠。

📐 例题

三家竞争杂货店位于10×10 km城市网格的 $(1, 2)$ 、 $(5, 2)$ 和 $(3, 6)$ 处。现要新建一家杂货店，使得它到所有三家现有门店的最小距离最大化，求最优坐标。

1
首先，求出每对现有站点之间的垂直平分线：
2
$\text{Midpoint of } (1,2) \text{ and } (5,2) = (3,2), \text{ bisector: } x = 3 \\ \text{Midpoint of } (1,2) \text{ and } (3,6) = (2,4), \text{ bisector: } x + 2y = 10$
3
最优位置是Voronoi顶点，即两条垂直平分线的交点。将 $x = 3$ 代入第二个方程：
4
$3 + 2y = 10 \implies y = 3.5$
5
最优位置为 $(3, 3.5)$ ，该点到三家现有门店的距离均为2.5 km。

2. 最大空圆问题★★★★☆⏱ 6 min

最大空圆问题要求找出可以容纳在有界Voronoi图内、内部不含任何现有站点的最大圆。该问题用于选址需要尽可能远离现有居民区的设施，例如污水处理厂。

📘 定义

最大空圆

可容纳在图边界内、内部不含任何站点的最大尺寸圆，其圆心位于内部Voronoi顶点或图的边界上。

例:

用于寻找危险设施远离所有居民区的最安全位置。

📐 例题

四个城镇位于4×4 km正方形边界内的站点 $A (0, 0)$ 、 $B (4, 0)$ 、 $C (4, 4)$ 、 $D (0, 4)$ 处，求边界内最大空圆的圆心和半径。

1
对站点对之间的垂直平分线相交于唯一的内部Voronoi顶点 $(2, 2)$ 。
2
计算 $(2, 2)$ 到最近站点的距离：
3
$d = \sqrt{(2-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2.83$
4
将该半径与边界上圆的最大可能半径比较：所有边界位置得到的最大半径都小于 $22$ 。

3. 服务区域分配★★☆☆☆⏱ 4 min

Voronoi图将区域划分为多个服务区域，每个区域（Voronoi单元）包含所有到单个服务站点（例如学校、医院或商店）最近的点。考试中通常要求你估算单元面积，并计算该站点服务的人口。

📐 例题

新诊所的Voronoi单元绘制在网格上，比例为 $1 cm = 2 km$ 。该单元覆盖12个完整网格方格和8个半方格。若人口密度为每平方公里150人，估算该诊所服务的人口数。

1
以网格方格为单位，计算单元的估算总面积：
2
$12 + (8 \times 0.5) = 16 \text{ cm}^2$
3
使用比例因子转换为实际面积。对于面积，需要对线性比例因子平方：
4
$1 \text{ cm} = 2 \text{ km} \implies 1 \text{ cm}^2 = 4 \text{ km}^2 \\ 16 \times 4 = 64 \text{ km}^2$
5
计算总人口： $64 \times 150 = 9600$ 人。

4. 常见陷阱

错误做法:

将新设施选址在现有站点坐标的平均值（均值）处

原因:

平均坐标不是那个能最大化到所有站点最小距离的点

正确做法:

找到垂直平分线交点处的Voronoi顶点，得到最优位置

错误做法:

寻找最大空圆时忘记检查边界边

原因:

对于有界图，最大圆有时位于外边界，而非内部顶点

正确做法:

将内部顶点得到的最大半径与边界上可能的最大半径比较

错误做法:

转换网格面积时不对线性比例因子平方

原因:

面积是二维测量值，因此比例因子必须平方

正确做法:

如果 $1 单位 = k km$ ，那么 $1 单位^{2} = k^{2} km^{2}$

错误做法:

依靠目视观察将点分配给Voronoi单元

原因:

目视判断距离容易出错，尤其是对于靠近边的点

正确做法:

计算该点到每个站点的距离，确认哪个最近

5. 速查表

应用场景	关键位置	所需计算
最优新设施选址	Voronoi顶点	求垂直平分线交点的坐标
最大空圆	内部顶点 / 边界边	半径 = 到最近站点的距离
服务区域	Voronoi单元	通过数网格估算面积
最近服务	任意点	计算到所有站点的距离

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2021 · 2
最优医院选址问题
2022 · 2
零售店选址问题
2023 · 1
最大空圆计算

深入阅读

syllabusIB AI HL 官方大纲本主题的完整大纲参考

下一步

Voronoi图应用问题是IB AI HL试卷2中常见的6-8分题，通常结合坐标几何、比例转换和问题求解。本主题将几何构建与城市规划、物流和地理学中使用的实际决策联系起来。在你现有知识的基础上，你可以探索更高级的空间问题和最优化技术。