# Voronoi图：应用问题

> IB 数学：应用与解释 HL · 几何与三角学
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u3-voronoi-diagrams-application-problems/

本子主题介绍Voronoi图常见的实际应用，包括新设施的最优选址、寻找最大空圆，以及为规划和物流进行区域分配。

**先修:** [Voronoi图构建](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u3-voronoi-diagrams-construction/); 垂直平分线与坐标几何

## 学习目标

- 求解Voronoi图上的最优设施选址问题
- 给定点集后找出最大空圆
- 估算分配问题中Voronoi单元的面积
- 将Voronoi图应用于实际决策问题

## 新设施的最优选址

Voronoi图的一项核心应用是寻找新设施的最优位置，使得新设施到现有竞争设施的最小距离最大化。这能最大化新设施的潜在客户群，减少与现有服务的重叠。

**例题:** 三家竞争杂货店位于10×10 km城市网格的$(1, 2)$、$(5, 2)$和$(3, 6)$处。现要新建一家杂货店，使得它到所有三家现有门店的最小距离最大化，求最优坐标。

1. 首先，求出每对现有站点之间的垂直平分线：
2. $$\text{Midpoint of } (1,2) \text{ and } (5,2) = (3,2), \text{ bisector: } x = 3 \\ \text{Midpoint of } (1,2) \text{ and } (3,6) = (2,4), \text{ bisector: } x + 2y = 10$$
3. 最优位置是Voronoi顶点，即两条垂直平分线的交点。将$x=3$代入第二个方程：
4. $$3 + 2y = 10 \implies y = 3.5$$
5. 最优位置为$(3, 3.5)$，该点到三家现有门店的距离均为2.5 km。

> **tip**
>
> 要最大化最小距离，新设施的最优位置永远在Voronoi顶点上，绝不会在Voronoi单元内部。

## 最大空圆问题

最大空圆问题要求找出可以容纳在有界Voronoi图内、内部不含任何现有站点的最大圆。该问题用于选址需要尽可能远离现有居民区的设施，例如污水处理厂。

**最大空圆** — 可容纳在图边界内、内部不含任何站点的最大尺寸圆，其圆心位于内部Voronoi顶点或图的边界上。

*例:* 用于寻找危险设施远离所有居民区的最安全位置。

**例题:** 四个城镇位于4×4 km正方形边界内的站点$A(0,0)$、$B(4,0)$、$C(4,4)$、$D(0,4)$处，求边界内最大空圆的圆心和半径。

1. 对站点对之间的垂直平分线相交于唯一的内部Voronoi顶点$(2,2)$。
2. 计算$(2,2)$到最近站点的距离：
3. $$d = \sqrt{(2-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2.83$$
4. 将该半径与边界上圆的最大可能半径比较：所有边界位置得到的最大半径都小于$2\sqrt{2}$。

> **考试提示**
>
> 除了内部顶点，一定要检查边界位置：最大圆有时会位于图的外边缘上。

## 服务区域分配

Voronoi图将区域划分为多个服务区域，每个区域（Voronoi单元）包含所有到单个服务站点（例如学校、医院或商店）最近的点。考试中通常要求你估算单元面积，并计算该站点服务的人口。

**例题:** 新诊所的Voronoi单元绘制在网格上，比例为$1 \text{ cm} = 2 \text{ km}$。该单元覆盖12个完整网格方格和8个半方格。若人口密度为每平方公里150人，估算该诊所服务的人口数。

1. 以网格方格为单位，计算单元的估算总面积：
2. $$12 + (8 \times 0.5) = 16 \text{ cm}^2$$
3. 使用比例因子转换为实际面积。对于面积，需要对线性比例因子平方：
4. $$1 \text{ cm} = 2 \text{ km} \implies 1 \text{ cm}^2 = 4 \text{ km}^2 \\ 16 \times 4 = 64 \text{ km}^2$$
5. 计算总人口：$64 \times 150 = 9600$人。

> **warning**
>
> 转换面积单位时，一定要记住对线性比例因子平方，这是考试中非常常见的错误。

## 常见错误

- **错误做法:** 将新设施选址在现有站点坐标的平均值（均值）处
  - 原因: 平均坐标不是那个能最大化到所有站点最小距离的点
  - 正确做法: 找到垂直平分线交点处的Voronoi顶点，得到最优位置
- **错误做法:** 寻找最大空圆时忘记检查边界边
  - 原因: 对于有界图，最大圆有时位于外边界，而非内部顶点
  - 正确做法: 将内部顶点得到的最大半径与边界上可能的最大半径比较
- **错误做法:** 转换网格面积时不对线性比例因子平方
  - 原因: 面积是二维测量值，因此比例因子必须平方
  - 正确做法: 如果$1 \text{ 单位} = k \text{ km}$，那么$1 \text{ 单位}^2 = k^2 \text{ km}^2$
- **错误做法:** 依靠目视观察将点分配给Voronoi单元
  - 原因: 目视判断距离容易出错，尤其是对于靠近边的点
  - 正确做法: 计算该点到每个站点的距离，确认哪个最近

## 速查表

| 应用场景 | 关键位置 | 所需计算 |
| --- | --- | --- |
| 最优新设施选址 | Voronoi顶点 | 求垂直平分线交点的坐标 |
| 最大空圆 | 内部顶点 / 边界边 | 半径 = 到最近站点的距离 |
| 服务区域 | Voronoi单元 | 通过数网格估算面积 |
| 最近服务 | 任意点 | 计算到所有站点的距离 |

## 下一步

Voronoi图应用问题是IB AI HL试卷2中常见的6-8分题，通常结合坐标几何、比例转换和问题求解。本主题将几何构建与城市规划、物流和地理学中使用的实际决策联系起来。在你现有知识的基础上，你可以探索更高级的空间问题和最优化技术。

- [微积分](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u4-overview/)

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