向量在运动学中的应用

IB 数学：应用与解释 HL· 6 分钟阅读

1. 用位置向量对运动建模★★☆☆☆⏱ 15 min

📘 定义

运动物体的位置向量 (position vector)

$r (t) = r_{0} + t v$

从位置 $r_{0}$ 出发、以匀速 $v$ 运动的物体，在时刻 $t$ 的位置向量为 $r (t)$ 。这就是直线的向量方程，其中时间 $t$ 扮演参数的角色，速度 $v$ 扮演方向向量的角色。物体的速率为 $∣ v ∣$ ，即速度向量的模。

例:

一艘从 $(2, 1)$ km 出发、速度为 $(34)$ km/h 的船，其位置为 $r (t) = (21) + t (34)$ ，速率为 $∣ v ∣ = 3^{2} + 4^{2} = 5$ km/h。

速度向量同时携带两条信息：它的方向是行进方向，它的模是速率。要求物体在某一时刻的位置，代入相应的 $t$ 值即可。要求物体何时到达某个给定点，令 $r (t)$ 等于该点并解出 $t$ 。

📐 例题

一架无人机从点 $(1, 2, 5)$ （单位为米）出发，以匀速 $4 - 3 12$ m/s 飞行。求它 3 秒后的位置及其速率。

1
把位置向量写成时间的函数：
2
$\mathbf{r}(t) = \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 5\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}4 \\ -3 \\ 12\end{pmatrix}$
3
代入 $t = 3$ 求 3 秒后的位置：
4
$\mathbf{r}(3) = \begin{pmatrix}1 + 12 \\ 2 - 9 \\ 5 + 36\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}13 \\ -7 \\ 41\end{pmatrix}$
5
无人机位于 $(13, - 7, 41)$ 米处。速率是速度向量的模：
6
$|\mathbf{v}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + 12^2} = \sqrt{16 + 9 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ m/s}$

2. 相对位置与最近距离★★★☆☆⏱ 20 min

📘 定义

相对位置与最近距离

对于位置向量分别为 $r_{A} (t)$ 和 $r_{B} (t)$ 的两个物体， $B$ 相对于 $A$ 的相对位置为 $d (t) = r_{B} (t) - r_{A} (t)$ 。它们在时刻 $t$ 的距离为 $∣ d (t) ∣$ 。最近距离是该距离的最小值，通过对 $∣ d (t) ∣$ （或更简便地对 $∣ d (t) ∣^{2}$ ）随时间求最小值得到。

两个运动物体之间的距离本身就是时间的函数。要求最近距离，先构造相对位置向量，把距离的平方 $∣ d (t) ∣^{2}$ 写成 $t$ 的函数，再求其最小值。在 GDC 上你可以画出距离图像并直接读出最小值，这是 AI HL 的标准做法。

📐 例题

两艘船离港。船 A 从 $(0, 0)$ km 出发，速度为 $(32)$ km/h。船 B 从 $(10, 0)$ km 出发，速度为 $(13)$ km/h。求两船之间的最近距离及其出现的时刻。

1
把每艘船的位置向量写成时间 $t$ （小时）的函数：
2
$\mathbf{r}_A(t) = \begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}3 \\ 2\end{pmatrix}, \quad \mathbf{r}_B(t) = \begin{pmatrix}10 \\ 0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}1 \\ 3\end{pmatrix}$
3
构造 B 相对于 A 的相对位置向量：
4
$\mathbf{d}(t) = \mathbf{r}_B(t) - \mathbf{r}_A(t) = \begin{pmatrix}10 \\ 0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}1 - 3 \\ 3 - 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}10 - 2t \\ t\end{pmatrix}$
5
把距离的平方写成 $t$ 的函数（避开根号）：
6
$|\mathbf{d}(t)|^2 = (10 - 2t)^2 + t^2 = 100 - 40t + 4t^2 + t^2 = 5t^2 - 40t + 100$
7
用二次函数的顶点求最小值（或在 GDC 上画图）。最小值出现在：
8
$t = \frac{-(-40)}{2 \times 5} = \frac{40}{10} = 4 \text{ hours}$
9
代入 $t = 4$ 求最小距离的平方，再开平方根：
10
$|\mathbf{d}(4)|^2 = 5(16) - 40(4) + 100 = 20 \implies |\mathbf{d}(4)| = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4.47 \text{ km}$
11
两船在 4 小时后最近，距离约为 4.47 km。

3. 把抛体运动和圆周运动写成向量★★★☆☆⏱ 15 min

并非每个物体都做匀速运动。当速度变化时，位置仍由位置向量描述，但此时每个分量都是时间的函数。应用问题中有两种重要情形：抛体运动 (projectile motion) 和圆周运动 (circular motion)。

📘 定义

抛体运动（向量形式）

$r (t) = (x_{0} + u t y_{0} + w t - \frac{1}{2} g t^{2})$

从 $(x_{0}, y_{0})$ 以初始水平速率 $u$ 和初始竖直速率 $w$ 抛出的抛体，其位置向量的水平分量以恒定速率增大，而竖直分量受重力 $g$ 向下牵引。水平运动和竖直运动在同一个向量内分别处理。

例:

一个从地面 $(0, 0)$ 以水平速率 $8$ m/s、竖直速率 $10$ m/s 踢出的球，取 $g = 9.8$ ，其 $r (t) = (8 t 10 t - 4.9 t^{2})$ 。

📘 定义

圆周运动（向量形式）

$r (t) = (a + R cos (ω t) b + R sin (ω t))$

以恒定角速度 (angular speed) $ω$ 绕圆心 $(a, b)$ 沿半径为 $R$ 的圆运动的物体，其位置向量就是这个式子。随着 $t$ 增大，该点描出这个圆； $ω$ 的值控制它绕圈的快慢。

例:

一位坐在半径 $15$ m、圆心为 $(0, 18)$ 、以 $ω = 0.2$ rad/s 转动的摩天轮上的乘客，其 $r (t) = (15 cos (0.2 t) 18 + 15 sin (0.2 t))$ 。

📐 例题

一架无人机沿路径 $r (t) = (20 cos (0.5 t) 20 sin (0.5 t))$ （单位为米、秒）飞行，绕着位于原点的一座塔盘旋。求它在 $t = π$ 秒时的位置及其到塔的距离。

1
把 $t = π$ 代入每个分量（GDC 用弧度制）：
2
$\mathbf{r}(\pi) = \begin{pmatrix}20\cos(0.5\pi) \\ 20\sin(0.5\pi)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}20\cos(90^\circ) \\ 20\sin(90^\circ)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 20\end{pmatrix}$
3
无人机位于 $(0, 20)$ 米处。它到位于原点的塔的距离是位置向量的模：
4
$|\mathbf{r}(\pi)| = \sqrt{0^2 + 20^2} = 20 \text{ m}$
5
这印证了半径：在以原点为圆心的圆形路径上，无人机始终与塔保持恒定的 20 m 距离。

4. 常见陷阱

错误做法:

把速度向量与速率混淆

原因:

速度是向量（有方向和大小）；速率只是大小。在要求单个数字时给出向量，或反过来，都会失分

正确做法:

把速率作为标量 $∣ v ∣ = v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2}$ 给出，并把速度保留为列向量

错误做法:

在保留根号的情况下对距离 $∣ d (t) ∣$ 求最小值

原因:

根号使代数运算和计算器操作更繁琐、更易出错

正确做法:

对距离的平方 $∣ d (t) ∣^{2}$ 求最小值，它在同一时刻取得最小值，最后只对最终值开平方根

错误做法:

比较两个运动物体时把两个速度向量相加

原因:

相对运动是相减而非相加；相加描述的是物理上无意义的东西

正确做法:

把位置向量相减， $d (t) = r_{B} (t) - r_{A} (t)$ ，得到相对位置

错误做法:

解圆周运动问题时把 GDC 停留在角度制

原因:

角速度 $ω t$ 以弧度计，所以在角度制下计算 $cos (ω t)$ 会得到错误的位置

正确做法:

只要角度由 $ω t$ 产生，就把 GDC 切换到弧度制

5. 速查表

概念	法则/公式
时刻 t 的位置	$r (t) = r_{0} + t v$
速率	$∣ v ∣ = v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2}$
B 相对于 A 的位置	$d (t) = r_{B} (t) - r_{A} (t)$
两物体之间的距离	$∣ d (t) ∣$
最近距离	对 $t$ 求 $∣ d (t) ∣^{2}$ 的最小值
圆周运动	$r (t) = (a + R cos (ω t) b + R sin (ω t))$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2022 · 2
用位置向量给两艘船建模并求它们的最近距离
2023 · 2
飞机追踪：求给定时刻的位置与最小间距

下一步

向量运动学把直线的向量方程变成描述真实运动的工具，也是 IB AI HL 试卷二中关于船、飞机和无人机的常见情境。最近距离方法——构造相对位置向量、在 GDC 上对距离的平方求最小值——是一套可靠、可复用的流程，值得熟练掌握。由此你可以把这些思想与用于导航问题的方位角和三角联系起来，并在运动不是直线时与函数建模联系起来。由于 AI HL 全程允许使用 GDC，重点在于正确地建立向量，把画图和求最小值交给计算器完成。

→直线的向量方程、交点