# 向量在运动学中的应用

> IB 数学：应用与解释 HL · 几何与三角
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u3-vector-kinematics/

本子主题展示向量如何描述运动。你将用随时间变化的位置向量对匀速直线运动的物体建模、计算其速率、用相对位置向量比较两个运动物体、求它们的最近距离，并用位置向量描述抛体运动和圆周运动。全程使用 GDC 进行数值计算。

**先修:** [直线的向量方程及其参数形式](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u3-vector-equation-of-a-line/)

## 学习目标

- 用位置向量 $\mathbf{r} = \mathbf{r}_0 + t\mathbf{v}$ 对匀速直线运动的物体建模
- 求出运动物体在任意时刻的位置，并把速率算作其速度向量的模
- 用相对位置向量比较两个物体的运动
- 求两个运动物体之间的最近距离（最小距离）及其出现的时刻
- 用随时间变化的位置向量描述抛体运动和圆周运动

## 用位置向量对运动建模

**运动物体的位置向量 (position vector)** — 从位置 $\mathbf{r}_0$ 出发、以匀速 $\mathbf{v}$ 运动的物体，在时刻 $t$ 的位置向量为 $\mathbf{r}(t)$。这就是直线的向量方程，其中时间 $t$ 扮演参数的角色，速度 $\mathbf{v}$ 扮演方向向量的角色。物体的**速率**为 $|\mathbf{v}|$，即速度向量的模。

*记法:* $\mathbf{r}(t) = \mathbf{r}_0 + t\,\mathbf{v}$

*例:* 一艘从 $(2, 1)$ km 出发、速度为 $\begin{pmatrix}3 \\ 4\end{pmatrix}$ km/h 的船，其位置为 $\mathbf{r}(t) = \begin{pmatrix}2 \\ 1\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}3 \\ 4\end{pmatrix}$，速率为 $|\mathbf{v}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ km/h。

速度向量同时携带两条信息：它的方向是行进方向，它的模是速率。要求物体在某一时刻的位置，代入相应的 $t$ 值即可。要求物体何时到达某个给定点，令 $\mathbf{r}(t)$ 等于该点并解出 $t$。

> **tip**
>
> 保持单位一致。若位置以千米计、时间以小时计，则速度以 km/h 计、速率也以 km/h 计。

**例题:** 一架无人机从点 $(1, 2, 5)$（单位为米）出发，以匀速 $\begin{pmatrix}4 \\ -3 \\ 12\end{pmatrix}$ m/s 飞行。求它 3 秒后的位置及其速率。

1. 把位置向量写成时间的函数：
2. $$\mathbf{r}(t) = \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 5\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}4 \\ -3 \\ 12\end{pmatrix}$$
3. 代入 $t = 3$ 求 3 秒后的位置：
4. $$\mathbf{r}(3) = \begin{pmatrix}1 + 12 \\ 2 - 9 \\ 5 + 36\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}13 \\ -7 \\ 41\end{pmatrix}$$
5. 无人机位于 $(13, -7, 41)$ 米处。速率是速度向量的模：
6. $$|\mathbf{v}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + 12^2} = \sqrt{16 + 9 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ m/s}$$

## 相对位置与最近距离

**相对位置与最近距离** — 对于位置向量分别为 $\mathbf{r}_A(t)$ 和 $\mathbf{r}_B(t)$ 的两个物体，$B$ 相对于 $A$ 的**相对位置**为 $\mathbf{d}(t) = \mathbf{r}_B(t) - \mathbf{r}_A(t)$。它们在时刻 $t$ 的距离为 $|\mathbf{d}(t)|$。**最近距离**是该距离的最小值，通过对 $|\mathbf{d}(t)|$（或更简便地对 $|\mathbf{d}(t)|^2$）随时间求最小值得到。

两个运动物体之间的距离本身就是时间的函数。要求最近距离，先构造相对位置向量，把距离的平方 $|\mathbf{d}(t)|^2$ 写成 $t$ 的函数，再求其最小值。在 GDC 上你可以画出距离图像并直接读出最小值，这是 AI HL 的标准做法。

**例题:** 两艘船离港。船 A 从 $(0, 0)$ km 出发，速度为 $\begin{pmatrix}3 \\ 2\end{pmatrix}$ km/h。船 B 从 $(10, 0)$ km 出发，速度为 $\begin{pmatrix}1 \\ 3\end{pmatrix}$ km/h。求两船之间的最近距离及其出现的时刻。

1. 把每艘船的位置向量写成时间 $t$（小时）的函数：
2. $$\mathbf{r}_A(t) = \begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}3 \\ 2\end{pmatrix}, \quad \mathbf{r}_B(t) = \begin{pmatrix}10 \\ 0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}1 \\ 3\end{pmatrix}$$
3. 构造 B 相对于 A 的相对位置向量：
4. $$\mathbf{d}(t) = \mathbf{r}_B(t) - \mathbf{r}_A(t) = \begin{pmatrix}10 \\ 0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}1 - 3 \\ 3 - 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}10 - 2t \\ t\end{pmatrix}$$
5. 把距离的平方写成 $t$ 的函数（避开根号）：
6. $$|\mathbf{d}(t)|^2 = (10 - 2t)^2 + t^2 = 100 - 40t + 4t^2 + t^2 = 5t^2 - 40t + 100$$
7. 用二次函数的顶点求最小值（或在 GDC 上画图）。最小值出现在：
8. $$t = \frac{-(-40)}{2 \times 5} = \frac{40}{10} = 4 \text{ hours}$$
9. 代入 $t = 4$ 求最小距离的平方，再开平方根：
10. $$|\mathbf{d}(4)|^2 = 5(16) - 40(4) + 100 = 20 \implies |\mathbf{d}(4)| = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4.47 \text{ km}$$
11. 两船在 4 小时后最近，距离约为 4.47 km。

## 把抛体运动和圆周运动写成向量

并非每个物体都做匀速运动。当速度变化时，位置仍由位置向量描述，但此时每个分量都是时间的函数。应用问题中有两种重要情形：抛体运动 (projectile motion) 和圆周运动 (circular motion)。

**抛体运动（向量形式）** — 从 $(x_0, y_0)$ 以初始水平速率 $u$ 和初始竖直速率 $w$ 抛出的抛体，其位置向量的水平分量以恒定速率增大，而竖直分量受重力 $g$ 向下牵引。水平运动和竖直运动在同一个向量内分别处理。

*记法:* $\mathbf{r}(t) = \begin{pmatrix} x_0 + u\,t \\ y_0 + w\,t - \tfrac{1}{2} g t^2 \end{pmatrix}$

*例:* 一个从地面 $(0, 0)$ 以水平速率 $8$ m/s、竖直速率 $10$ m/s 踢出的球，取 $g = 9.8$，其 $\mathbf{r}(t) = \begin{pmatrix}8t \\ 10t - 4.9t^2\end{pmatrix}$。

**圆周运动（向量形式）** — 以恒定角速度 (angular speed) $\omega$ 绕圆心 $(a, b)$ 沿半径为 $R$ 的圆运动的物体，其位置向量就是这个式子。随着 $t$ 增大，该点描出这个圆；$\omega$ 的值控制它绕圈的快慢。

*记法:* $\mathbf{r}(t) = \begin{pmatrix} a + R\cos(\omega t) \\ b + R\sin(\omega t) \end{pmatrix}$

*例:* 一位坐在半径 $15$ m、圆心为 $(0, 18)$、以 $\omega = 0.2$ rad/s 转动的摩天轮上的乘客，其 $\mathbf{r}(t) = \begin{pmatrix}15\cos(0.2t) \\ 18 + 15\sin(0.2t)\end{pmatrix}$。

> **tip**
>
> 对任何按分量逐一写出的位置向量，你仍然可以通过代入 $t$ 求出物体在指定时刻的位置，并通过把两个物体的位置向量相减再取模求出它们之间的距离。用你的 GDC 求值并画出距离图像。

**例题:** 一架无人机沿路径 $\mathbf{r}(t) = \begin{pmatrix}20\cos(0.5t) \\ 20\sin(0.5t)\end{pmatrix}$（单位为米、秒）飞行，绕着位于原点的一座塔盘旋。求它在 $t = \pi$ 秒时的位置及其到塔的距离。

1. 把 $t = \pi$ 代入每个分量（GDC 用弧度制）：
2. $$\mathbf{r}(\pi) = \begin{pmatrix}20\cos(0.5\pi) \\ 20\sin(0.5\pi)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}20\cos(90^\circ) \\ 20\sin(90^\circ)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 20\end{pmatrix}$$
3. 无人机位于 $(0, 20)$ 米处。它到位于原点的塔的距离是位置向量的模：
4. $$|\mathbf{r}(\pi)| = \sqrt{0^2 + 20^2} = 20 \text{ m}$$
5. 这印证了半径：在以原点为圆心的圆形路径上，无人机始终与塔保持恒定的 20 m 距离。

## 常见错误

- **错误做法:** 把速度向量与速率混淆
  - 原因: 速度是向量（有方向和大小）；速率只是大小。在要求单个数字时给出向量，或反过来，都会失分
  - 正确做法: 把速率作为标量 $|\mathbf{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}$ 给出，并把速度保留为列向量
- **错误做法:** 在保留根号的情况下对距离 $|\mathbf{d}(t)|$ 求最小值
  - 原因: 根号使代数运算和计算器操作更繁琐、更易出错
  - 正确做法: 对距离的平方 $|\mathbf{d}(t)|^2$ 求最小值，它在同一时刻取得最小值，最后只对最终值开平方根
- **错误做法:** 比较两个运动物体时把两个速度向量相加
  - 原因: 相对运动是相减而非相加；相加描述的是物理上无意义的东西
  - 正确做法: 把位置向量相减，$\mathbf{d}(t) = \mathbf{r}_B(t) - \mathbf{r}_A(t)$，得到相对位置
- **错误做法:** 解圆周运动问题时把 GDC 停留在角度制
  - 原因: 角速度 $\omega t$ 以弧度计，所以在角度制下计算 $\cos(\omega t)$ 会得到错误的位置
  - 正确做法: 只要角度由 $\omega t$ 产生，就把 GDC 切换到弧度制

## 速查表

| 概念 | 法则/公式 |
| --- | --- |
| 时刻 t 的位置 | $\mathbf{r}(t) = \mathbf{r}_0 + t\mathbf{v}$ |
| 速率 | $\|\mathbf{v}\| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}$ |
| B 相对于 A 的位置 | $\mathbf{d}(t) = \mathbf{r}_B(t) - \mathbf{r}_A(t)$ |
| 两物体之间的距离 | $\|\mathbf{d}(t)\|$ |
| 最近距离 | 对 $t$ 求 $\|\mathbf{d}(t)\|^2$ 的最小值 |
| 圆周运动 | $\mathbf{r}(t) = \begin{pmatrix} a + R\cos(\omega t) \\ b + R\sin(\omega t) \end{pmatrix}$ |

## 下一步

向量运动学把直线的向量方程变成描述真实运动的工具，也是 IB AI HL 试卷二中关于船、飞机和无人机的常见情境。最近距离方法——构造相对位置向量、在 GDC 上对距离的平方求最小值——是一套可靠、可复用的流程，值得熟练掌握。由此你可以把这些思想与用于导航问题的方位角和三角联系起来，并在运动不是直线时与函数建模联系起来。由于 AI HL 全程允许使用 GDC，重点在于正确地建立向量，把画图和求最小值交给计算器完成。

- [直线的向量方程、交点](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-hl-u3-vector-equation-of-a-line/)

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